※ 引述《vickyshu (大肚魚)》之銘言：
: 以下有幾題數學問題
: 想請教各位大大幫忙解答~
: 謝謝！！
: 1.有五個小朋友甲、乙、丙、丁、戊按如下方法分一堆彈珠：
: 甲先拿去一顆彈珠，和剩下彈珠的1/5，
: 接著乙也拿去一顆彈珠，和剩下彈珠數的1/5，
: 後來是丙拿去一顆彈珠，和剩下彈珠數的1/5，
: 又後來是丁拿去一顆彈珠，和剩下彈珠數的1/5，
: 最後是戊拿去一顆彈珠，和剩下彈珠的數的1/5。
: 問：最初至少要有多少顆彈珠？
: 2.有一個六位數可被11整除，這個數中的個位數各不相同也不是0。
: 請將該六位數的數位重新進行排列，
: 至少還能排出多少個同樣
1. 假設甲乙丙丁戊拿好之後, 分別還剩下a_4, a_3, a_2, a_1和a_0個彈珠, 並且最初有a_5個彈珠, 那麼a_{n+1}=5a_n/4+1. 因此a_i=0 (mod 4) for i=1,2,3,4. 由a_4=0 (mod 4), 可得a_3=-4 (mod 16), a_2=-4 (mod 64), a_1=-4 (mod 256) 以及 a_0=-4 (mod 1024). 因此a_0的最小可能是1020, 解出最初最少有a_5=3121彈珠.
2. E大給出了一種構造性質的解法, 也就是至少有72種. 下面證明對於任何滿足題設的6位數, 一定只有72種.
假設這六位數被表示成100000a+10000b+1000c+100d+10e+f, 其中a,b,c,d,e,f均是0到9之間的整數. 顯然a+c+e=b+d+f (mod 11).
Case 1: Without loss of generality, 交換a跟b, 如果得到的新數仍然被11整除, 那麼必有2(a-b)=0(mod 11), 但考慮到a和b的取值範圍, 這顯然是不可能的.
Case 2, Without loss of generality, 交換a跟b以及c跟d, 這等同於只交換e跟f, 於是情況等同於case 1.
這就證明了任何滿足題設的6位數, 一定正好有72種重新排列, 被11整除.
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