[代數] 數論一題

[adifdtd (請加油~)]

求正整數x,y 使得 x^2 - 2y^2 = 1

解:

   (x-(√2)y)(1-(√2))(x+(√2)y)(1+(√2)) = -1
=> (x+2y)^2 - 2(x+y)^2 = -1

令x'=x+2y, y'=x+y

同樣的方法  (x'+2y')^2 - 2(x'+y')^2 = 1

故 x^2 - 2y^2 = 1  =>  (3x+4y)^2 - 2(2x+3y)^2 = 1

先給個顯然的初始解: x=1, y=0

我們可以找到 (3,2), (17,12), (99,70), (577,408)..等無限多組解


我的問題是  是否還存在其它解?

因為這個解法只是給出一個遞迴式  唯一性不知道怎麼證明

(我想很久證不出來  也有可能不唯一)

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→ adifdtd     : 範圍應該屬於數論的diophantine equation
→ adifdtd     : 但內容我幾乎忘光了  囧
→ WINDHEAD    : 請搜尋 Pell's equation
→ adifdtd     : 好像沒有搜尋到為什麼(x+y√2)^k的係數是唯一解
→ adifdtd     : 不過我相信再繼續找就可以解決  感恩
→ hateann     : 只有有解，就會有無限多組解
→ WasabiSushi : hateann, 不是對所有的代數多項式都是只要有解就會
→ WasabiSushi : 有無限多組解. 譬如 x^3-y^2=1, 只有一組整數解.
→ WasabiSushi : 錯了, 是 x^3-y^2=2.
→ kerwinhui   : 用 O_{Q(sqrt(2))} 是 UFD