作者Eliphalet (銀河系５大行星侵略者)
看板Math
標題Re: [中學] 不等式
時間Thu Mar 26 13:19:02 2015
※ 引述《adifdtd (請加油~)》之銘言：
: x^2+y^2+z^2=1, x,y,z為實數
: 求 S = x/(1+yz) + y/(1+zx) + z/(1+xy) 的最大值
: NOTE
: 若有x,y,z非負的前提 S最小值為1 成立於x,y,z有1為1
: S最大值為√2 成立於x,y,z其中兩個為√2/2
: 這是已經被證明的(但我也只會用微積分Lagrange Multipier做 求高中數學解法)
: 但這題沒有限制 Lagrange起來形式複雜 我沒解出來
: 我自己寫matlab去跑 結果如下:
: S最大值約為1.485107063463959
: 成立於{x,y,z}約為{0.672547699618391, 0.677877483364750, -0.296920375328275}
: 我猜測準確值應該充滿了根號 但我觀察不出這幾個數如何根出來
: 而且這最大值成立時居然三數都不同 我似乎沒看過這種不等式
: 跪求解法
令 x ≧ y ≧ z ， 顯然最大值不會發生在 |z| = 0 和 |z| = 1
對固定的 |z| > 0， r = r(z) := sqrt(1-z^2)
因此我們可以令 x = r cos(t)， y = r sin(t)，代入 S 後得
r cos(t) r sin(t) 2z
S(t;z) = --------------- + ---------------- + ------------------
1 + rz sin(t) 1 + rz cos(t) 2 + r^2 sin(2t)
你要的是 S 在 S^2 上的最大值，顯然 x,y > 0 ， z < 0
因此再令 0 < t < π/2
對每一固定的 z ，
-r sin(t) r cos(t) 4zr^2 cos(2t)
S'(t;z) = ---------------- + --------------- - ---------------------
1 + rz sin(t) 1 + rz cos(t) (2 + r^2 sin(2t))^2
r^2 z cos^2(t) r^2 z sin^2(t)
- -------------------- + -------------------
(1 + rz sin(t))^2 (1 + rz cos(t))^2
可以觀察出不論任何的 0 < |z| < 1，
2 sqrt(2) r 2z
max S(t;z) = S(π/4;z) = ---------------- + ------------
2 + sqrt(2)rz 3 - z^2
又右式的最大值大概發生在 z = -0.296920 此時 x = 0.675222 = y
(這裡我解不出真實解，借用你的數值結果)
這時的 S = 1.485130
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推 adifdtd : 為什麼最大值不會在|z|=0? 不過好像也不需要此條件 03/26 23:35
→ adifdtd : 為什麼顯然x,y > 0 ， z < 0 ? 03/26 23:35
推 adifdtd : S'是對t偏微 應該吧? 因為z,r皆固定 03/26 23:41
我那是微分沒錯，那是指把 z 當定值來看，考慮 S 在
bdy {x^2+y^2 = 1-z^2 } 的最大值
然後可喜可賀的發現，每一圈的最大值都發生在 x = sqrt((1-z^2)/2) = y 上
那麼只要找這一些裡面最大的即可，所以就又變成只有單變數 z 的情形
→ adifdtd : 我的最大值發生時 x,y並不相同 03/26 23:41
這是丟給 wolfram alpha 跑的結果
http://tinyurl.com/paxg57n
好像你的 x 和 y 只差一點點？
推 adifdtd : max S(t;z) = S(π/4;z) 如何觀察? 03/26 23:43
推 adifdtd : S'(π/4;z)=0 似乎不代表S(π/4;z)是最大(固定z) 03/26 23:47
→ adifdtd : 感謝你喔!! 03/26 23:47
※ 編輯: Eliphalet (114.46.208.249), 03/27/2015 08:16:04