推 adifdtd : 感謝了!! bugmens也在推文連結中提到此一方法 03/26 23:32
※ 引述《adifdtd (請加油~)》之銘言：
: x^2+y^2+z^2=1, x,y,z為實數
: 求 S = x/(1+yz) + y/(1+zx) + z/(1+xy) 的最大值
: NOTE
: 若有x,y,z非負的前提 S最小值為1 成立於x,y,z有1為1
: S最大值為√2 成立於x,y,z其中兩個為√2/2
這是已經被證明的(但我也只會用微積分Lagrange Multipier做 求高中數學解法)
: 但這題沒有限制 Lagrange起來形式複雜 我沒解出來
: 我自己寫matlab去跑 結果如下:
: S最大值約為1.485107063463959
: 成立於{x,y,z}約為{0.672547699618391, 0.677877483364750, -0.296920375328275}
: 我猜測準確值應該充滿了根號 但我觀察不出這幾個數如何根出來
: 而且這最大值成立時居然三數都不同 我似乎沒看過這種不等式
: 跪求解法
先證最小值
引理： "x+xyz ≦ 1"
證明： x + xyz ≦ x + x(y^2+z^2)/2 ＝ x + x(1-x^2)/2 = (-x^3 + 3x)/2
＝ 1 + (-x^3+3x-2)/2
＝ 1 - (x-1)^2(x+2)/2 ≦ 1 證畢
同理有 y+xyz ≦ 1 ; z+xyz ≦ 1
∴原式
x/(1+yz) + y/(1+zx) + z/(1+xy) ＝ x^2/(x+xyz) + y^2/(y+xyz) + z^2/(z+xyz)
≧ x^2 + y^2 + z^2 = 1
等號成立時 兩者為0 另外一者為1
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再證最大值
引理 " (x+y+z)^2 ≦ 2(1+yz)^2 " { 代表 x+y+z ≦ √2 * (1+yz) }
證明：展開得 x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) ≦ 2 + 4yz + 2y^2z^2
<=> 2(xy + yz + zx) ≦ 1 + 4yz + 2y^2z^2
<=> 2(xy + yz + zx) ≦ x^2 + y^2 + z^2 + 4yz + 2y^2z^2
移至右邊 <=> (y + z - x)^2 + 2y^2z^2 ≧ 0 證畢
同理有 x+y+z ≦ √2 * (1+xy) 、 x+y+z ≦ √2 * (1+xz)
∴原式
x/(1+yz) + y/(1+zx) + z/(1+xy) ≦ x√2/(x+y+z) + y√2/(x+y+z) + z√2/(x+y+z)
＝ √2
等號成立時兩者為√2/2 另外一者為0
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