[幾何] R^n中Ball位移問題

[znmkhxrw (QQ)]

符號：1.B_p(r)：以p為圓心，r為半徑的compact ball
      2.o=(0,0,0,0,...,0)
      3.r-ball：半徑為a的compact ball

問題：將B_o(r)往下位移至B_p(r) , p = (0,0,...,-a), 0<a<r
      (即往下位移a單位，但不超過r)

試證：B_o(r)的下半球會被

      "B_p(r)的上半球" 聯集 "B_o(r)赤道球殼每點所形成的a-ball聯集" 給蓋住

      附個R^2的圖解釋：http://imgur.com/s66DieD
      (藍色與紅色加起來是上球的下半球，而紅色部分可以由下球蓋住
       但藍色部分無法，需要箭頭那兩個點去形成a-ball才能蓋住)

      但畢竟最高只能到R^3去想像(赤道那圈去形成a-ball)，更高維度就無法了

      翻譯成數學的語言的話，即是

Let B_o(r), B_p(r) be two compact balls defined as above

where p=(0,0,...,-a) , 0<a<r

Define S = {(x_1,x_2,...,x_(n-1),0)│Σ(x_i)^2 = r^2}

       U = {(x_1,,....,x_(n-1),x_n)│Σ(x_i)^2 = r^2, x_n≦0}


Prove U is included in B_p(r) ∪ ( ∪ B_x(a) )
                                  x€S

(S就是原球的赤道，U就是原球的下半球，B_p(r)是下移後的球，∪B_x(a)是赤道每點
 張出的a-ball聯集 )


謝謝！

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※ 編輯: znmkhxrw (61.231.125.61), 03/27/2015 20:15:03
→ wohtp       : 先證明在 R^2 上面成立
→ wohtp       : 對一般的 R^n，考慮赤道面上的任意直徑
→ wohtp       : 直徑跟南極可以定義一個二維橫切面
→ wohtp       : 然後拿 R^2 的結果套上去就是了
→ znmkhxrw    : 是不是要加入剛體旋轉概念? 轉到3點同一2維面??
→ wohtp       : 你要轉也可以。我本來想的是每個點都屬於一個切面。
→ wohtp       : 或者這麼說啦，對任意一點，用這個點跟兩球圓心去定
→ wohtp       : 義那個切面
→ wohtp       : 反正能在R^2上面解決的問題我死也不要拉回R^n XD
→ wohtp       : 這是個人怕麻煩而已
推 WasabiSushi : 抱歉, 我一直沒有看懂, 這裡的ball指的是球面還是球
→ WasabiSushi : 但是根據最後括號裡面的話, 估計指的是球面. 這樣
→ WasabiSushi : 無非就是找滿足幾個多項式的解,也就是證明algebraic
→ WasabiSushi : variety不是空集.你可以先證明在C上不是空集, 這很
→ WasabiSushi : 簡單, 因為只要證明幾個多項式生成的ideal是proper
→ WasabiSushi : 的,就okay了.最後只要說明這個variety的real points
→ WasabiSushi : 也不是空集,就完成了.原理很簡單,稍需計算即可.
→ wohtp       : ball應該是球體，sphere才是球面
→ WasabiSushi : 可是他說U是下半球,事實上只是下半球面,因此我就以
→ WasabiSushi : 為他講的球可能指的是球面.
→ WasabiSushi : 當然,滿足球面的話,一定滿足球體.
→ znmkhxrw    : 不好意思 我的是指球體耶
→ znmkhxrw    : 主要是想證明 下半球所有的點不是會被位移的上半球
→ znmkhxrw    : 蓋住 不然就是被赤道那圈所形成的a-ball蓋住
→ yyc2008     : 如果可以證R^2 剩下不就只是把二維長度平方以n-1維
→ yyc2008     : 平方和取代就好嗎?算法一樣