※ 引述《SmallLuLu (小嚕嚕)》之銘言：
: 假設
: a_1=2
: a_n+1=1/(a_n+2)
: 簡言之就是不斷的+2再分之一
: 數列會收斂到sqrt2-1
: 但是我帶數字進去 發現他不是遞減 也不是遞增
: 是sqrt2-1的左邊以及sqrt2-1的右邊不斷的往中間跳
: 請問我要如何證明這個數列收斂呢?
: 感謝
顯然每一個 a_n 皆大於 0，因此如果極限存在只能是 √2 - 1
為方便打字，這裡令 A = √2 - 1，
(-1) * A
考慮 a_{1+n} - A = ------------ * (a_n - A)
(a_n + 2)
= ...
n 1
= (-1)^n * A^n * (a_1 - A) Π -----------------
j=1 a_{1+n-j} + 2
A^n * (3-√2)
因此 |a_{1+n} - A| ≦ -----------------
2^n
→ 0 as n→∞
故 lim a_n = A = √2 - 1
n→∞
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