Re: [微積] 求內接長方形體積

[Eliphalet (銀河系５大行星侵略者)]

※ 引述《dream0402 (5656565656)》之銘言：
:                        2   2
: 已知一橢圓之方程式為  X + y
:                      --- --- =1
:                        2   2
:                       a   b
: 求內接此橢圓之長方形中,其最大面積為何
: 求大大幫解~~~~


  可令長方形的 4 個端點為 (x,y)、(-x,y)、(-x,-y)、(x,-y) ， x,y > 0


   面積 = 4xy

           4b
        = ---- sqrt ( -(x^2 - a^2/2)^2 + a^4/4 )
           a

                             4b       a^2
   因此最大內接長方形面積 = ----- * ------ = 2ab
                              a       2

   此時四個端點為  ( a/√2 , b/√2)，( -a/√2 , b/√2)

                   (-a/√2 , -b/√2)，( a/√2 , -b/√2)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.201.200
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1427698394.A.41D.html
推 sunev       : 內接長方形的邊一定要平行長短軸嗎？
推 j0958322080 : 不平行會是矩形嗎??
→ Eliphalet   : 要平行長短軸
→ yyc2008     : 除了畫圖直觀外 有沒有辦法能夠數學證明一樓的問題?

   可以啊， 不過做法有點髒

   以下是概要

   假定直線 L_1 : y = mx + c, 和橢圓截出一線段，長度為 d

   那麼所有和 L_1 平行的直線中，只有 L_2 : y = mx-b 和橢圓

   截出線段的長度會等於 d


   截出來的這 4 個點稱為 A,B,C,D ， 那麼由向量 AB ● AD = 0

   要嘛 m = 0 (水平線)， 要嘛 a = b (此時是圓)
※ 編輯: Eliphalet (114.46.201.200), 03/30/2015 20:36:56
→ yyc2008     : 謝謝 這樣做得出來