Re: [中學] 一個多項式判別式的觀念問題......

[niwota (你我他)]

※ 引述《cycutom (cycutom)》之銘言：
: 想請問，二次多項式的判別式 b^2-4ac ，當它 < 0 時，代表
: 這個f(x)無實數解，如同下面這個wiki所說：
: http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0
: 也就是f(x)無實數解，不就代表「你在數線上根本劃不出 X 」嗎？
: 但為什麼會有所謂的像下面這個WIKI裡，右邊的圖那樣：
: http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%88%A4%E5%88%AB%E5%BC%8F
: 當判別式>0時，與X軸有二個交點，等於0時一個交點，沒有交點時，判別式小於0
: 所謂的：一元二次多項式的判別式與其函數圖像之間的關係
: 不是代表，當判別式小於0時，根本劃不出函數圖形嗎？（因為X不是實數）

畫在XY平面(第二張圖)的二次曲線代表 y = ax^2+bx+c = f(x)

"二次多項式的判別式 b^2-4ac ，當它 < 0 時，代表
這個f(x)無實數解"

指的是 f(x)=0 無實數解 ==>  y=f(x)=0 無實數解

而f(x)=0有實數解，代表你可以在 x軸(y=0) 找到與 y = f(x) 二次曲線相交的點

而相交的點就是 y=f(x)=0 的解　

X軸是所有實數的集合，所以無(實數)解不是說畫不出來

而是找不到與X軸相交的點罷了

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 50.167.185.48
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1427855186.A.14F.html
※ 編輯: niwota (50.167.185.48), 04/01/2015 10:26:57
推 cycutom     : 簡單來說，講到判別式，要先令函數的值為0....
→ cycutom     : 又或者說，函數的值，本來是可以等於任何的數，但
→ cycutom     : 「當我們把函數的值，硬性規定為等於0時」，這時的
→ cycutom     : 函數叫做「方程式」，這時才能開始討論判別式...
→ cycutom     : 以上是剛剛自已找WIKI的結論... = =
→ niwota      : 不是說函數的值規定等於0才叫做方程式
→ niwota      : x^2+2x+3=4 不等於0，但它也是方程式
推 cycutom     : 想請教一下，當f(x)>0時則判別式是<0對吧？
→ niwota      : 不過判別式D=b^2-4ac 是要把等式移項使一邊等於0
→ cycutom     : 但明明判別式<0時，f(x)應該是無實解根
→ niwota      : 變成x^2+2x-1=0 才能得到判別式D=2^2-4*1*(-1)=8
→ cycutom     : 我的意思是，今天可以在f(x)>0時，用判別式嗎？
→ cycutom     : 因為我今天看到：f(x)>=0則D<=0，我實在覺的很怪...
→ cycutom     : f(x)=0則D=0，這我懂，但我真的不懂為什麼f(x)>0時
→ niwota      : 可以啊 f(x)=x^2+x+2=0 f(x)>0  判別式<0
→ cycutom     : 為什麼此時D<0，D<0不是指無實數解嗎？
舉例來說

方程式f(x)=x^2+x+2=0  多項式f(x)在x為實數時恆>0，所以方程式 f(x)=0無實數解

其實一個實係數一元二次方程式， f(x)=ax^2+bx+c=0

多項式f(x)恆>0 (或恆<0)  <==> 方程式f(x)=0的D<0  (==>,<==兩方向皆成立)

從 左[f(x)>0] 推到 右[D<0] 或由右推到左都是可行的
※ 編輯: niwota (50.167.185.48), 04/01/2015 10:57:42
→ cycutom     : 為什麼可以？判別式<0，此時應該劃不出數線吧？
→ cycutom     : 其實你列式有矛盾耶，你的f(x)到底是=0 or >0 ???
※ 編輯: niwota (50.167.185.48), 04/01/2015 10:59:18
※ 編輯: niwota (50.167.185.48), 04/01/2015 11:00:45
推 cycutom     : 你已經講到我現在正在看的東西，我現在在看「恆值問
→ cycutom     : 題」，但........我還是看不懂什麼叫「在x為實數時
→ cycutom     : 恆>0」？今天f(x)不就是要恆＝０嗎？
有一個多項式f(x)，我發現x不管代任何實數進去，f(x)的值都會>0

那麼我就知道方程式 f(x)=0 無實數解，因為任何實數x代進去都>0，找不到使f(x)=0的x

f(x)=0 無實數解 ==> D<0


所以如果找到實係數多項式f(x)=ax^2+bx+c (a>0) 任何實數x代進去f(x)都>0

我就可以說方程式 f(x)=ax^2+bx+c=0 判別式D<0且無解
※ 編輯: niwota (50.167.185.48), 04/01/2015 11:08:45
→ cycutom     : 我懂了，你是指f(x)>0時，此時對f(x)=0而言是無解
→ cycutom     : 有點懂了..... Thank you so much
→ cycutom     : 也就是D<0無實數解，是對f(x)=0而言....
推 cycutom     : 太感恩了，沒你的解說，我應該無法可以搞清楚....
※ 編輯: niwota (50.167.185.48), 04/01/2015 11:13:47

結論：

 實係數f(x)=ax^2+bx+c  D=b^2-4ac

f(x)恆>0 <==> 在XY平面中位在x軸之上且開口向上  <==> D<0, a>0
f(x)恆<0 <==> 在XY平面中位在x軸之下且開口向下  <==> D<0, a<0
f(x)=0 只有一實數根 <==> y=f(x)在XY平面中與x軸只有一交點 <==> D=0
f(x)=0 有兩實數根   <==> y=f(x)在XY平面中與x軸有兩交點 <==> D>0
※ 編輯: niwota (50.167.185.48), 04/01/2015 11:23:26