→ yhliu : 以 r=0.5, p(k) 依次為 1.0,0.9,0.8,...,0.1,0.05, 04/02 11:01
→ yhliu : 0.02,0.01,0(生了14個女孩不再生), 計算出期望生育 04/02 11:02
→ yhliu : 數是 1.86, 其中男、女孩各 0.93. 04/02 11:03
※ 引述《adcores5 (ok)》之銘言：
: 從前有一位國王為了控制人口數量，宣布一條法律：
: 任何一對夫婦只要生了一個兒子就不准再生育。祥言之：
: 若第一個孩子是生兒子，就不准再生育；若第一個孩子是生女兒，
: 則可以繼續生育直到生出兒子為止。假設個胎之間的生育是獨立的
: ，並且生男與生女的機率都相等，各為二分之一:
: 請問
: <1>這個國家平均起來每個家庭有幾個孩子
: <2>這個國家的男女比例會部會失衡，即男生會部會比女生多
: 謝謝幫忙!!!!
假設: 生了 k 個女孩的家庭有 p(k) 的機率再生下一胎,
其中 p(k) 遞減, 至 K 個時 p(K) = 0.
故:
生 1個 的機率是 1/2 + (1/2)(1-p(1))
生 2個 的機率是 (1/2)p(1)[1/2+(1/2)(1-p(2)]
生 3個 的機率是 (1/2)p(1) (1/2)p(2) [1/2 +(1/2)(1-p(3)]
以此類推.
期望生育數是
1 [1/2 + (1/2)(1-p(1))]
+ 2 {(1/2)p(1)[1/2+(1/2)(1-p(2)]}
+ 3 {(1/2)p(1) (1/2)p(2) [1/2 +(1/2)(1-p(3)]}
+ ...
= [1-(1/2)p(1)] + 2 (1/2)p(1)[1-(1/2)p(2)]
+ 3 (1/2)^2 p(1)p(2)[1-(1/2)p(3)] + ...
而生女孩數是
1個女孩之機率 = 生1女1男之機率 + 生1女不再生之機率
= (1/2)^2 p(1) + (1/2)(1-p(1))
= (1/2)[1-(1/2)p(1)]
2個女孩之機率 = (1/2)^3 p(1)p(2) + (1/2)^2 p(1)(1-p(2))
= (1/2)^2 p(1)[1-(1/2)p(2)]
以此類推
故, 期望女孩數是
(1/2)[1-(1/2)p(1)] + 2 (1/2)^2 p(1)[1-(1/2)p(2)]
+ 3 (1/2)^3 p(1)p(2)[1-(1/2)p(3)] + ...
= (1/2){ [1-(1/2)p(1)] + 2(1/2)p(1)[1-(1/2)p(2)]
+ 3 (1/2)^2 p(1)p(2)[1-(1/2)p(3)] + ...}
= (1/2){期望孩子數}
如果以上計算沒錯, 在做了比較合乎現實的假設的情況, 性別平衡
依然可維持.
不過, 實際的出生男女性比例並非 1:1 (只是接近, 事實上男嬰略
多於女嬰). 假設男嬰比例是 r, 則
生 1個 的機率是 r + (1-r)(1-p(1))
= 1 - (1-r)p(1)
生 2個 的機率是 (1-r)p(1)[r+(1-r)(1-p(2)]
= (1-r)p(1)[1-(1-r)p(2)]
生 3個 的機率是 (1-r)^2 p(1)p(2) [r +(1-r)(1-p(3)]
= (1-r)^2 p(1)p(2)[1-(1-r)p(3)]
以此類推.
以女孩數而言,
1個女孩機率 = r(1-r)p(1) + (1-r)(1-p(1))
= (1-r)[1-(1-r)p(1)]
2個女孩機率 = r(1-r)^2 p(1)p(2) + (1-r)^2 p(1)(1-p(2))
= (1-r)^2 p(1) [1-(1-r)p(2)]
以此類推.
故, 期望女孩數為
{(1-r)[1-(1-r)p(1)]} + 2{(1-r)^2 p(1) [1-(1-r)p(2)]} + ...
= (1-r){ [1-(1-r)p(1)] + 2 (1-r)p(1)[1-(1-r)p(2)] + ... }
= (1-r)(期望生育數)
性別平衡 (男嬰 r : 女嬰 1-r) 仍維持.
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