作者Eliphalet (銀河系５大行星侵略者)
看板Math
標題Re: [中學] 幾題高中的資優數學..
時間Thu Apr 2 18:13:08 2015
※ 引述《sunfin (遠方)》之銘言：
: 有幾題資優的題目算不出來，麻煩高手幫忙，感激！
: 1. x,y,u,v 滿足四個式子：
: u+v=2
: ux+vy=1
: u*x^2 + v*y^2=-1
: u*x^3 + v*y^3=-5 求x=? y=?
=> 2x + v(y-x) = 1
2x^2 + v(y^2-x^2) = -1
2x^3 + v(y^3-x^3) = -5
=> 2x^2 + (1-2x)(y+x) = -1
2x^3 + (1-2x)(y^2+xy+x^2) = -5
=> x+y-2xy = -1
y^2+xy+x^2-2xy(x+y) = -5
=> x=1， y=2 或 x=2， y=1
: 2.如果 a>b>0 且 gcd(a,b)=1 則 gcd(a+b,a-b)=?
令 p 為整除 a+b 和 a-b 的質數
p|a+b and p|a-b => p|2a and p|2b
則 p|2 因此 p = 2，這種情況的 gcd(a+b,a-b)=2
gcd(a+b,a-b) 也有可能等於 1， eg a=5,b=2
所以 gcd(a+b,a-b) 要嘛是 1 或 2
: _____
: 3.有一個二進位循環小數 0.000110(只有後面五個有循環)，
: 此數所對應的十進位數字為何？
此數 = 1/2^4 + 1/2^5 + 1/2^9 + 1/2^10 + ...
= 1/2^4 (1+1/2) + 1/2^9(1+1/2) + ...
= 3/2 * 2/31
= 3/31
: 無限 無限 無限 無限 無限
: 4.讓 {A_n} 代表一堆集合，如果他滿足 U (倒U) A_n = (倒U) U A_n
: n=1 k=1 n=k k=1 n=k
: 無限
: 則 {A_n} 就具有"星號"性質。根據以上描述，回答下列問題是否有星號性質？
: n=1
: (a) A_n = { x屬於R | -1/n < x <= 1+(-1)^n }
: (b) A_n = { x屬於R | -(1+n)/n < x < (1+n)/n }
: (c) A_n = { x屬於R | -(1+n)/n <= x <= (1+n)/n }
: PS,其中倒U就是把U倒過來寫的意思，因為鍵盤找不到這個符號，抱歉，
: 其實第四題我完全看不懂題目...
太誇張了吧，倒 U 是交集的意思，這裡用 \cap 表示
(a) 當 n 是奇數 A_n = (-1/n,0]
n 是偶數 A_n = (-1/n,2]
inf inf
左邊的 \cap A_n = \cap (-1/n,0] = {0}
n=k n=k
因此 LHS = {0}
inf inf
右邊的 U A_n = U (-1/n,2] = (-1/k,2]
n=k n=k
inf
因此 RHS = \cap (-1/k,2] = [0,2]
k=1
因此沒星號性質 其它的你類推吧
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.208.242
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1427969591.A.9DF.html
※ 編輯: Eliphalet (114.46.208.242), 04/02/2015 18:21:47
→ someone : 第三題等比公式算錯了 04/02 18:28
http://www.wolframalpha.com/input/?i=convert+3%2F31+to+base+2
我應該沒算錯吧？
※ 編輯: Eliphalet (114.46.208.242), 04/02/2015 18:37:33
推 sunfin : 感謝，前三題看懂了，但是第四題還是不太懂.. 04/02 18:48
→ sunfin : 所以左邊是先交集再聯集，而右邊是先聯集再交集？ 04/02 18:49
→ sunfin : 請問4-a小題為何左邊用奇數討論，右邊用偶數討論? 04/02 18:51
→ sunfin : 4-b,4-c是不是就可以不用分奇數與偶數討論了呢？ 04/02 18:52
→ Eliphalet : 你想一下交集跟聯集的的定義應該就會懂了 04/02 18:58
推 sunfin : 感謝，我會再多想想! 04/02 19:10
推 samuel30214 : 能問問為何p整除a+b和a-b p就整除2a和2b嗎? 04/02 21:51
→ LPH66 : 2a = (a+b)+(a-b), 2b = (a+b)-(a-b) 04/02 22:02
推 samuel30214 : 好的謝謝! 04/02 22:22