Re: [中學] 解三角函數方程式

[sukisusuki (冬後之小雁子)]

※ 引述《sunfin (遠方)》之銘言：
: 想請教這兩題的三角函數方程式的一般解:
: 1.求 (cosX)^2000 - (sinX)^2000 = 1 所有實數根X的一般解？
: 2.求 (tanX)^sinX = (cotX)^cosX 的一般解？
: 還有這題證明題該怎麼下手呢？
: 3.若a,b,c皆為整數，且a^6 + 2*b^6 = 4*c^6，試證a=b=c=0
: 感謝!

3.
WLOG, suppose a,b,c>=0
a^6 + 2b^6 = 4c^6
=>(a^6 + 2b^6)/4 = c^6
=>a必須偶數，令a=2*a_1

代回原式
=>16(a_1)^6 + (b^6)/2 = c^6
=>b必須偶數，令b=2*b_1

代回原式
=>16(a_1)^6 + 32(b_1)^6 = c^6
=>c必須偶數，令c=2*c_1

假設
a=(2^n)*a_n，a_n:奇數或0
b=(2^m)*b_m，b_m:奇數或0
c=(2^r)*c_r，c_r:奇數或0
WLOG, let n<=m,r
代回原式
=>[(a_n)^6 + 2*(2^(6m-6n))*((b_m)^6)]/4=(2^(6r-6n))*(c_r)^6
=>a_n須為偶數(矛盾)或0
同理歸納出
a_n，b_m，c_r皆為0

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※ 編輯: sukisusuki (218.173.13.222), 04/03/2015 04:05:54
推 sunfin      : 原來如此，看懂了！感謝!