Re: [微積] 3題積分問題

[Eliphalet (銀河系５大行星侵略者)]

※ 引述《blue99 (藍)》之銘言：
:         2     4
: 1. ∫sin x cos  x dx


   sin^2(x) cos^4(x) = (sin^2(2x) cos^2(x))/4

                         (1+cos(2x))sin^2(2x)
                     =  ----------------------
                                8

                                   1                   x      sin(4x)
   因此 ∫sin^2(x)cos^4(x) dx =  ------ sin^3(2x) +  ----- - --------- + C
                                   48                  16        64




:     π   1
: 2. ∫ --------- dx (α>1)
:     0  α-cosx


  令 t = tan(x/2)，把原積分轉成


    ∞         2 dt
   ∫   ----------------------
    0    (α-1) + (α+1) t^2


              2                  π
   =  ---------------------- *  ----
       sqrt(α-1)sqrt(α+1)      2


   =  π/sqrt(α^2-1)


:           1
: 3.∫------------ dx
:      1+sinx-cosx



  一樣，令 t = tan(x/2) 把原積分換成


       1
  ∫ --------   dt
      t(t+1)


   =  ln|t| - ln|t+1| + C


   =  ln |tan(x/2)/(1+tan(x/2))| + C




: Ans:                    3
: 1. x/16 - sin4x/64 + sin 2x /48 + c
:         ________
: 2. π/√α^2 -1
: 3. ln |tan(x/2)/1+tan(x/2)|

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→ yyc2008     : 第一行 = 1/4*sin^2(2x) cos^2(x)
※ 編輯: Eliphalet (114.46.208.242), 04/03/2015 15:32:45
推 blue99      : 謝謝E大!^^1跟3題已經ok!第2題第二步還在想...謝謝