推 jeromeshih : 感謝說明 04/11 10:30
※ 引述《jeromeshih (以謹慎態度來面對問題)》之銘言：
: 2015 AMC 12題目及解答如下
: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2015_AMC_12A_Problems#Problem_25
: (台灣感覺上是把英文翻成中文)
: 想請教的是題目23
: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2015_AMC_12A_Problems/Problem_23
: - -
: | |
: |_ _|
: 在一開始將正方形切八個區塊並隨意選擇一個區塊,這能理解
: 以左下為例
: |_ _
: A
: A點在A處直線選一點,B有兩種情況
: 1.和A同一直線,這部分能夠理解
: 2.在A的左上方
: 但如此假設A距離為x,B點不是為√(0.25-x^2),但為何會多出1/2
: 另外為何可使用後面的積分公式,有點不能理解
: 題目25
: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2015_AMC_12A_Problems/Problem_25
: 有關這題,因為看了有點不太清楚題目的方向
: 因為較難想像解答為何要如此切入
: 以上兩題不知板上大家是否能提點一下
: 謝謝
圖有點難畫
A BCD E
○oOo○
AE為第0層，AE外切，半徑分別為 70^2,73^2
C為第1層，AC,EC外切
BD為第2層，AB,BC,CD,DE外切
求 第0~6層所有圓的 1/√(半徑) 之和
考慮第0層和第1層，圓X,Y,Z
X f
| Y
| |
a' Z b'
____|____|___|_____ x軸
x' y'
(XY)表示線段XY，X,Y為第0層，Z為第1層
x',y'為垂足， a'為Z到(Xx')之垂足，b'為Z到(Yy')之垂足
f為X到(Yy')延伸出去的垂足
線段距離如下
r(X)=(Xx')=x=73^2 r(Y)=(Yy')=y=70^2 r(Z)=z
(XZ)=x+z (YZ)=y+z (XY)=x+y
(Za')=a (Zb')=b (x'y')=(Xf)=c
從直角三角形 ΔXZa' ΔYZb' ΔXYf
畢式定理得到網頁中那三條等式
最後可以得到關係式 1/√x + 1/√y = 1/√z
S(i)代表第i層所有圓之 1/√(半徑) 之和
A BCD E
○oOo○
S(1) = 1/√r(C) = 1/√r(A) + 1/√r(E) = S(0)
S(2) = 1/√r(B) + 1/√r(D)
= [1/√r(A) + 1/√r(C)] + [1/√r(C) + 1/√r(E)]
= 2*S(1) + S(0)
= 3*S(0)
.... 依此類推
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