推 SmallLuLu : 感謝 04/06 19:56
※ 引述《SmallLuLu (小嚕嚕)》之銘言：
: 已知p為質數
: 且二次多項式x^2-2px+p^2-5p-1=0均為整數
: 試求出所有p的值
: 答案是3,7
: =========================
: 小弟資質愚昧
: 不管是因式分解還是配方法都不知如何處理
: 所以想請教版友要如何解這題
: → itsweb : 你可能要把題目說清楚一點... 04/06 19:45
: → wayn2008 : 二次方程x^2-2px+p^2-5p-1=0的兩根都是整數 04/06 19:49
: → wayn2008 : 我只好把題目丟到google了... 04/06 19:49
就配方, 這題都給你 2px 跟 p^2 了...
(x-p)^2 = 5p+1
x = p±√(5p+1)
所以要找 5p+1 是完全平方數的
易知只有 5k+1 跟 5k+4 的平方才會除以 5 餘 1
(1) 5k+1 的狀況:
(5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5k(5k+2) + 1
故 p = k(5k+2) 要是質數, 只能其中一個因數為 1, 只有 k = 1, 此時 p = 7
(2) 5k+4 的狀況:
(5k+4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k+3)(k+1) + 1
故 p = (5k+3)(k+1) 是質數, 只有 k = 0, 此時 p = 3
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LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
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