推 THEJOY : 那個...theorem拼錯了 04/08 07:48
※ 編輯: LimSinE (219.85.112.235), 04/08/2015 14:50:39
三年多前的文章...
題目：
設A 為 mxn 矩陣，full row rank (故m<=n), g: nx1 向量 則
Sigma(a) det A(a)^2 [A(a)]'^-1 g(a)
(AA')^-1 Ag = --------------------------------- ......(*)
Sigma(b) det A(b)^2
其中a,b 的求和範圍為所有n個足標中取m個的方法
A(a) 即取A裡面a中的m行形成的m階方陣；g(a)為g裡面a中的m列所形成的mx1向量。
(以'表transpose, 又易見原題中的D可不失一般性設為I而不管它)
首先先引用一個定理
Theorem (Cauchy Binet)
設X為mxn矩陣，Y為nxm矩陣，則
det XY = Sigma(a) det X(a) det Y(a)
因此 奇怪的分母即是 Sigma (b) det A(b)^2 = det AA'
接著利用以下的觀察：
對於方陣X，行向量g，
det(X) [X']^-1 g 的第i分量 = det(Xi)，
det(X) [X]^-1 g 的第i分量 = det (X[i])，
其中Xi = 將 X 之第i列換為g' 得到的矩陣，X[i] = 將 X之第i行換為g得到的矩陣
(這是Cramer rule的一種變形)
因此(*)兩邊的第i分量可整理為
det(AA'[i]) = Sigma(a) det(A(a)) det(A(a)_i)
= det A (A_i)' (再用Cauchy Binet) ......(**)
其中 AA'[i] 為將AA'之第i行換為Ag 得到的矩陣
A_i 為將 A 之第i列換為g' 得到的矩陣
發現 AA'[i] = A (A_i)'，故得證
※ 引述《llewxam (鋼琴中的大賦格)》之銘言：
: http://ppt.cc/kNmP
: 想了很久不知道如何下手
: 不知道有什麼方向可以證明
: 謝謝各位
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代數幾何觀點！
Algebro-Geometrical Aspect!
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