推 sunfin : 感謝，原來(2)(3)兩題答案是一樣的 04/08 17:34
→ yyc2008 : 不太懂(2)的證明 是不是有用到這個數列是遞增的條件 04/09 01:46
→ yyc2008 : 否則光有界 不代表數列收斂 是不是這樣? 04/09 01:47
→ yyc2008 : 另外 有點好奇能不能直接證明出有界然後得到條件 04/09 01:47
※ 引述《sunfin (遠方)》之銘言：
: 令 a 是任意一給定的實數且定義數列a_1=a，
: a_n=(a_n-1)^2 - a_n-1 +1
: (1)求a範圍使此數列為單調數列。(完全遞增or完全遞減)
: (2)求a範圍使此數列為有界數列。
: (3)求a範圍使此數列為收斂數列，並求收斂值。
: -----
: (1)我是算a不等於1
錯了 t^2 - t = 0 的解為 t = 0,1
又 a_{n+1} - a_n = (a_n - 1)^2
因此只要 a 不為 0 或 1 即為嚴格遞增
PS 看你的定義這兩個是否是為完全遞增 1,1,1,...
0,1,1,...
我猜想完全遞增就是嚴格遞增的意思
(2) 無論如何 a_{n+1} ≧ a_n
n-1
又 a_n = a + Σ (a_k - 1)^2
k=1
∞
{a_n} 有界 iff Σ (a_k - 1)^2 收斂
k=1
顯然 lim a_n = 1
又 a^2-a+1 ≦ 1 iff 0 ≦ a ≦ 1
所以 0 ≦ a ≦ 1
(3) 因為 {a_n} "遞增"，{a_n}有界必為收斂數列
又收斂數列必為有界數列
因此同 (2) 的結果
: 但是我分不清楚(2)跟(3)這兩題差別在哪？
: 答案不都是 0 <=a<=1 並且收斂到1 嗎？
: 麻煩高手指點迷津，感謝！
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※ 編輯: Eliphalet (114.46.194.6), 04/08/2015 17:35:21