[中學] 關於平面與兩點的距離問題？

[sunfin (遠方)]

就是如果給一個平面E，跟給空間中兩點A跟B，假設這兩點在平面同側。
求下列條件如何找P點？

(1)PA線段+PB線段的min
(2)(PA線段)^2+(PB線段)^2的min

我的疑問是：

1.第一題很簡單，只要找出A對平面的對稱點連到B，與平面交於P，
  但是第二題怎麼找P點呢？

2.印象中曾經做過先找AB線段的中點，再投影到平面上得到P點，
  而這樣找到的P點所具有的性質會是什麼樣的題目所問的呢？

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→ wayn2008    : 2.利用中線定理 (AP)^2+(BP)^2=(MP)^2+(AM)^2 其中
→ wayn2008    : M為AB線段之中點~
→ wayn2008    : 因為AM線段為固定長 所以要求MP線段的最小值
→ wayn2008    : P即為M到平面的投影點
→ sunfin      : 喔喔！懂了！原來如此！感恩！
推 G41271      : 第二題用代數列式也能求出
→ sunfin      : 要怎麼用代數列式？
→ wayn2008    : 假設P(x,y,z), (PA線段)^2+(PB線段)^2展開
→ wayn2008    : 利用科西不等式求得~
→ sunfin      : 喔喔！兩位太強了！這樣真有趣耶！懂了！
→ G41271      : YES~, 不過用幾何比較漂亮就是了
→ wayn2008    :     柯*   (3) (PA線段-PB線段)的絕對值最大值
→ wayn2008    : P為AB直線延伸後與平面E的交點~AB線段即為所求
→ wohtp       : 誰解釋一下平面 E 在這題裡面是做什麼用的？
→ wohtp       : 是 P 點要在 E 上面嗎？
→ wayn2008    : P點在平面上XD
→ sunfin      : 喔!太棒了！還有第三題！感恩!!
→ yyc2008     : 可以講一下柯西怎麼用在這裡嗎?
→ yyc2008     : 了解
→ yyc2008     : 不行  我想錯了  請問要怎麼作?
→ yyc2008     : 大概要把平面E設成簡單的面?
→ wayn2008    : E:2x+y+z=1 A(0,0,0) B(-2,2,-2) P(x,y,z)去做做看
→ wayn2008    : x^2+y^2+z^2+(x+2)^2+(y-2)^2+(z+2)^2 展開配方
→ wayn2008    : 2(x+1)^2+2(y-1)^2+2(z+1)^2 +6
→ wayn2008    : 接下來你自己做看看吧...
→ yyc2008     : 謝謝  我做做看
→ yyc2008     : 做出來了 謝謝偉恩
推 wayn2008    : 中線定理錯了QQ (AP)^2+(BP)^2=2*[(MP)^2+(AM)^2]