推 ntuyeh : 感謝 T^T 04/09 12:30
推 sunfin : 厲害!! 04/10 00:51
※ 引述《sunfin (遠方)》之銘言：
: 假設t屬於R，為一固定實數使得a,b為方程式x^2-tx-1=0的2個不同實根，
: 如果[a,b]為函數f(x)=(2x-t)/(x^2+1) 的定義域，
: 求在[a,b]區域內f(x)的Max-min = ？
: 麻煩高手一下，感恩!
x^2-tx-1=0 的兩根為
______
t ± √t^2+4
----------------
2
______ ______
t - √t^2+4 t + √t^2+4
又 a < b，所以 a = ------------ , b = --------------
2 2
令 y = f(x) = (2x-t)/(x^2+1)
y x^2 - 2x + (t+y) = 0
___________
2 ± √4-4y(t+y)
x = ------------------
2y
___________
1 ± √1- yt-y^2
= ------------------ (式*)
y
x是實數，所以根號內非負
y^2 + yt - 1 ≦ 0
因式分解
_____ _____
-t+√t^2+4 -t-√t^2+4
( y - ---------- )( y - ----------- ) ≦ 0
2 2
得
_____ _____
-t-√t^2+4 -t+√t^2+4
y1 = ---------- ≦ y ≦ ---------- = y2
2 2
y1,y2 為 y^2 + yt - 1 = 0 的二根
代入式*，解得 x = 1/y1 = a , x = 1/y2 = b
故y1與y2,皆發生在f(x)的定義域內
_____
所以所求 = y2 - y1 = √t^2+4
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