推 sandy50315 : 我微積分教授是朱樺XDDDDDD 04/15 16:44
→ Philethan : 啊..嗯嗯！之前騎車待轉時驚覺朱樺教授竟然也在待轉 04/15 17:37
→ Philethan : 區等綠燈...@.@ 04/15 17:37
呃....內容有點多，先跟願意耐心閱讀的網友說聲「非常感謝～～～～」
jacky7987大大提到，x^2 * sin(1/x) 是使得可微性定理的前件不成立，但後
件成立的例子，所以我想試著證明這點，請各位幫忙看看對不對。最後就是想問
該如何由(ii)證明(iii)？
: (i) fx, fy 都存在而且都連續
: (ii) f 可微
: (iii) 其他方向的偏微分也會存在且連續
x^2 * sin(1/x) 是使得可微性定理的前件不成立，但後件成立的例子的證明。
朱樺教授的可微性定理：
「若在(a,b)附近 fx 及 fy 存在，且均在(a,b)連續，則f在(a,b)是可微的。」
根據可微性的定義：
(不喜歡課本上的定義，這是參考自http://faculty.atu.edu/mfinan/2934/cal148.pdf）
A function z = f(x,y) is said to be differentiable at (a,b) if f(x,y) can
be expressed in the form
f(x,y) = f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b) + E(x,y)
with the relative error E satisfying
lim(x,y)->(a,b) E(x,y)/sqrt[(x-a)^2+(y-b)^2] = 0
並且，將 x^2 * sin(1/x) 定義為多值函數：
f(x,y) = x^2 * sin(1/x) if x =/= 0
f(x,y) = 0 if x = 0
接著判斷函數f(x) 於 (a,b) = (0,0) 的可微性：
f(x,y) = f(0,0) + fx(0,0)(x-0) + fy(0,0)(y-0) + E(x,y)
f(0,0) = 0
fx(0,0) = 0；這是根據它的極限定義計算出來的。
fy(0,0) = 0
所以，f(x,y) = 0 + 0(x-0) +0(y-0) + E(x,y)
所以，f(x,y) = E(x,y)
最後該檢驗的是，Error是否滿足下式：
lim(x,y)->(0,0) E(x,y)/sqrt(x^2+y^2) = 0
所以就是用(ε, δ)-definition of limit檢驗：
lim(x,y)->(0,0) x^2*sin(1/x)/sqrt(x^2+y^2) = 0
For every ε>0, there's a corresponding δ=ε such that if sqrt(x^2+y^2)<δ,
then | x^2*sin(1/x)/sqrt(x^2+y^2) - 0 | < | x^2 /sqrt(x^2+y^2) |
< | (x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2) | = sqrt(x^2 + y^2) <δ=ε.
所以f(x,y) = x^2 sin(1/x) 於 (0,0) 確實可微。
不過f(x,y) = x^2 sin(1/x)的 fx 並不在 x=0 時連續：
於 x =/= 0 時， fx = 2x sin(1/x) - cos(1/x) ，所以當x->0，fx不存在。
因此就形成了：
「在(0,0)附近 fx 及 fy 存在，且均在(0,0)連續」：不成立，因為不在(0,0)連續。
「f在(0,0是可微的」：成立。
不知以上證明對嗎？謝謝..
: 多變數的可微分判定，不能簡單的等同於多個方向的可偏微分判定
: http://calculus.subwiki.org/wiki/Existence_of_directional_derivatives_in_every_direction_not_implies_differentiable
: 因此，除了用定義硬證，我們需要其他條件來幫助我們判定多變數函數可微
: 其中一個方法就是，進而要求多個方向偏微分不但存在，還要連續。
「多個方向偏微分不但存在，還要連續」是「f於(a,b)可微分」的充分條件。
那請問有沒有「f於(a,b)不可微分」的必要條件？這樣感覺會順暢許多...
畢竟，如果「多個方向偏微分不但存在，還要連續」的充分條件不成立，那麼
也不能推得「f於(a,b)不可微分」。
: 簡短的說，不可能有這樣的函數。考慮下面幾個命題
: (i) fx, fy 都存在而且都連續
: (ii) f 可微
: (iii) 其他方向的偏微分也會存在且連續
: 標準的高微書上會有證明 (i) => (ii) => (iii)
請問有(ii)->(iii)的證明嘛？我目前沒有Apostol的書...或者跟我說關鍵字，我去查也
可以。不太熟悉我想要的證明的英文表達方式...
非常感謝！看完各位的回覆後，我確信我越來越了解到底什麼是「可微性」了！
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※ 編輯: Philethan (180.204.4.214), 04/15/2015 11:44:15