Re: [分析] 一題高微

[Eliphalet (三寶上路害人不淺)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: Weierstrass Approximation Theorem (WAT) 有個典型的應用是：
: if f€C[a,b]
:     b
:    S f(x)x^n = 0 for all n>=0
:     a
: then  f = 0
: --------------------------------------------
: 那如果改成：
: if f€C[a,inf)
:     inf
:    S    f(x)x^n = 0 for all n>=0
:      a
: 則f還會是0函數嗎??
: 試著證明時，WAT只能用在finite interval，因此馬上想要換變數拉回去，但是換了之後
: (我用 x = 1/t )，就變成f(1/t)(1/t)^n就失敗了= =
: 但想著想著 這應該還會是對的!?
: 有證明或是例子嗎?? 謝謝!


  應該是錯的！ 例子 f(x) = e^(-x^(1/4)) sin(x^(1/4))

             ∞
  則 f 滿足 ∫  f(x) x^n dx = 0 ， n = 0,1,2,3,...
             0


  下面是推論

                        ∞
  考慮 L(t^n*sin(t);s)=∫  e^(-st) t^n sin(t) dt ， s>0
                        0


  則有
                     -n(n-1)                          2ns
  L(t^n*sin(t);s) = --------- L(t^(n-2)*sin(t);s) + ------- L(t^(n-1)*sin(t);s)
                      s^2+1                          s^2+1


  我們有興趣的地方在 s = 1


  因此有差分方程

           -n(n-1)
    a_n = --------- a_{n-2} + n a_{n-1}， a_k := L(t^k*sin(t);1)
              2

  其中 a_0 = 1/2 = a_1


  解出差分方程得到

                                  1
   a_n = n! * 2^(-(n+1)/2) * sin(----(n+1)π)
                                  4

  特別當 n = 4k+3 時， a_n = 0


  現在令 f(x) = e^(-x^λ) sin(x^λ) ， λ>0


  目的是找到"適合" 的 λ　對應到上面的 a_n (所以會等於0)


        ∞                 ∞
    則 ∫  x^n f(x) dx  = ∫  e^(-x^λ) sin(x^λ) x^n dx
        0                  0

                               ∞
                        = 1/λ∫  e^(-u) sin(u) u^((n+1)/λ - 1) du
                               0
         n+1
   =>  ------- - 1 = 4n+3 => λ = 1/4
          λ


  有錯請指教

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※ 編輯: Eliphalet (114.46.198.133), 04/20/2015 19:14:16
推 yueayase    : Laplace Transform?
→ yyc2008     : 是阿