推 shingai : 這方法太讚了，感謝解除疑惑！！ 04/26 22:48
※ 引述《shingai (吸收正能量)》之銘言：
: 已知對數log(sqrt(x)) 首數p, 對數log(10/x) 首數為q
: 當2p^2-q^2有最大值1時，所有的x所成的集合 ans:1/10<x<1 or x=100
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: 做到(p,q)=(1,-1)or (-1,1)有最大值之後尾數的問題就卡住了
: 因此想請教如何分析清楚找出所有x所成的集合
log(sqrt(x)) = (1/2)log(x), log(10/x) = 1-log(x)
若知道log(x)，則可以求得p及q。
設n為整數，
若log(x)=2n，則p=n、q=1-2n；
若2n<log(x)<=2n+1，則p=n、q=-2n；
若2n+1<log(x)<2n+2，則p=n、q=-1-2n；
第1種情況，2p^2-q^2=2n^2-(1-2n)^2=-2n^2+4n-1=-2(n-1)^2+1
第2種情況，2p^2-q^2=2n^2-(-2n)^2=-2n^2
第3種情況，2p^2-q^2=2n^2-(-1-2n)^2=-2n^2-4n-1=-2(n+1)^2+1
由上述可知，2p^2-q^2=1只在第1種情況的n=1或第3種情況的n=-1時出現。
第1種情況時，log(x)=2，即x=100；
第3種情況時，-1<log(x)<0，即1/10<x<1。
因此，所有滿足條件之x所組成的集合為{x|1/10<x<1 or x=100}。
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