Re: [中學] 封閉區域求面積

[Eliphalet (三寶上路害人不淺)]

※ 引述《Eliphalet (三寶上路害人不淺)》之銘言：
: ※ 引述《shingai (吸收正能量)》之銘言：
: : 題為
: : 已知
: : (x,y) belong to [0,2*pi]x[0,2*pi]
: : 則 equation: cos(4x)=cos(y) 之圖形所圍成的區域面積為____。
: : _______________________________________________________________
: : 想請教這題能否使用微積分考慮雙變數函數在給定的封閉區域算出面積
: : 想用 z=cos(4x)-cos(y)=0 來算 ....但失敗~~
: : 或是別的觀點也可以分享...感謝~!
:   所圍成的區域面積？ 題目真的是這樣出嗎？
:   cos(4x)=cos(y) <=>  -2 sin((4x+y)/2) sin((4x-y)/2) = 0
:   所以只要 4x+y = 2kπ 或 4x-y = 2kπ ( k 是整數)
:   則 cos(4x) = cos(y)
:    4x+y = 2kπ 這一系列的直線，會有 6 個跟 [0,2π]x[0,2π]
:    有交集， 分別是 k = 0 (只交於 (0,0)) ，k = 1，k = 2，
:    k = 3， k = 4， k = 5 (只交於 (2π,2π))
:   4x-y = 2kπ 這一系列的直線，一樣會有 6 個跟 [0,2π]x[0,2π]
:   有交集， 分別是 k = -1 (只交於 (0,2π))， k = 0，k = 1，
:   k = 2， k = 3， k = 4 (只交於 (2π,0))
:   這樣還有辦法找出所謂的圍成區域 ？ 有一堆耶
:   所以原 PO 你的 x 和 y 的範圍是不是要再小一點...

→ shingai     : 抱歉 來晚了 http://imgur.com/1Fm4668
→ shingai     : 我好像了解你的意思..不過他沒納進矩形邊界 (對吧?!

  OK 所以原始題目是 sin^2(y/2) + cos^2(x) = 1

  ( 還有你題目打錯了，上一篇推文有人說了，是 cos(2x) = cos(y) 才對 )

  這樣這題就可解

  上面方程式的解是 y/2 = ±x + kπ， k 整數


   y/2 = x + kπ 這系列的直線只有 k = -2,-1,0,1  跟 I=[0,2π]x[0,2π] 有交集

     其中

    k = -2 ( 跟 I 只交於一點 (2π,0))

    k = 1  ( 跟 I 只交於一點 (0,2π))


   y/2 = -x + kπ 這系列的直線只有 k = 0,1,2,3   跟 I=[0,2π]x[0,2π] 有交集

    其中

   k = 0  ( 跟 I 只交於一點 (0,0) )

   k = 3  ( 跟 I 只交於一點 (2π,2π) )


  所以圍出來的區域是以 (π/2,π)，(π,0)，(π,2π)，(3/2*π,π)

  為頂點之四邊形

  故面積為 1/2 * (2π) * (3/2π-π/2) = π^2


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※ 編輯: Eliphalet (114.46.211.89), 04/28/2015 14:41:20
推 a016258     : 請問 列出 ...只交一點的用意是什麼? 不是把這些直
→ a016258     : 些直線畫出來 發現是解四個直線圍成的區域就好了嗎?
  我列出來的意思是因為和 I 只有交於一點，又斜率只有兩種

  所以能圍出封閉區域的線必定沒有這四條

  所以那四個點其實是剩下四條的交點
※ 編輯: Eliphalet (114.46.211.89), 04/28/2015 15:33:54
推 a016258     : 懂了 感謝!