推 SmallLuLu : 感謝 05/02 10:14
→ yyc2008 : 請問最後一行是怎麼來的? 05/02 18:37
※ 引述《SmallLuLu (小嚕嚕)》之銘言：
: 假設今天有給定由小至大的n個數 假設為a1 a2 ... an
: 此時我相此數列亂排 並假設數列為b1 b2 b3 ... bn
: 此時
: 想請問Σai*bi的最大值最小值發生在bi要如何排列的時候?
: =========================================================
: 舉例來說 假設今天有五個數 分別是 1 2 3 4 5
: 則a1=1 a2=2 a3=3 a4=4 a5=5)
: 那麼在b1=1 b2=2 b3=3 b4=4 b5=5時 Σai*bi會有最大值55
: 那麼在b1=5 b2=4 b3=3 b4=2 b5=1時 Σai*bi會有最小值35
: ==========================================================
: 從上面這例子我覺得a_i=b_i時會有最大值
: a_i=b_n-i時會有最小值
: 但是不知道該如何證明
: 請問有版友能幫指點迷津嗎 感謝
最大值由柯西不等式很容易就可以看出 a_i = b_i 時有最大值
最小值的話，考慮 Σ (a_i-b_i)^2 = Σa_i^2 + Σb_i^2 - 2Σa_ib_i
右邊前兩項都是定值，所以 Σa_ib_i 的最小值發生於
Σ (a_i-b_i)^2 取得最大值時，
亦即 b_1 = a_n，b_2 = a_{n-1}，...，b_n = a_1 時
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.226.96
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1430531710.A.351.html