推 xu3g4m4 : 謝謝! 05/05 12:55
推 zard1989 : 請問第二步的g是怎麼取的？f不知道在不在L^p裡 05/05 22:08
原 PO 的題目不是就有說 f in L^p(R^n) (？)
※ 編輯: Eliphalet (114.46.217.57), 05/05/2015 22:39:17
推 zard1989 : 我題目看反了 05/06 07:50
※ 引述《xu3g4m4 (Lsy)》之銘言：
: Show ∫_{R^n} |f(x+h)-f(x)|^p dx → 0 as h→0, f in L^p(R^n)
: 請問如何證明
: 謝謝
f_h(x):= f(x+h)
1. 已知 C_c(R^n) dense in L^p(R^n)
2. 給定 ε>0， 在 C_c(R^n) 中取 g 使得 ||f-g|| < ε/3
3. 取 B(0;R) 使得 supp(g) ㄈ B(0;R)
因為 g uniformly continuous，取 δ_0 > 0 使得
|g(x)-g(y)| < (ε/3)* (1/|B(0;2R)|)
4. ||g_h-g|| = (∫ |g(x+h)-g(x)|^p dx )^(1/p)
R^n
= (∫ |g(x+h)-g(x)|^p dx )^(1/p)
B(0;2R)
< ε/3 ， 當 |h| < δ:= min{δ_0,R}
5. || f_h - f || ≦ || f_h - g_h || + || g_h - g || + || g - f ||
< ε/3 + ε/3 + ε/3
= ε ， 當 |h| < δ
6. 因此 ， lim ∫ |f(x+h)-f(x)|^p dx = 0
h→0 R^n
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.217.57
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1430800811.A.166.html