Re: [微積] 嘉義大學填充題

[Eliphalet (Mournful Monday)]

※ 引述《Eliphalet (Mournful Monday)》之銘言：
: ※ 引述《blackmmm (~~RAY~~)》之銘言：
: : http://i.imgur.com/AO0xiOP.jpg
: : 第七題
: : http://i.imgur.com/8s1hf4J.jpg
: : 這是我的解法
: : 但到後面就做不下去了
: : 是我方用錯了
: : 還是我全都算錯了
: : 謝謝大家的回答
:   其實這個有很好的對稱性 :P
:   令 u = 3-x ，可以把原積分變成
:    3       sqrt(3-u)
:   ∫  ----------------------- du
:    0    sqrt(3-u)+sqrt(u)
:           3        sqrt(x)
:   很好， ∫ --------------------- dx = 3/2
:           0   sqrt(x)+sqrt(3-x)

推 blackmmm    : 腦袋轉不過來...非常抱歉 麻煩能圖解嗎  謝謝
→ blackmmm    : 不明白為何兩相能加減

 稍微把上面對 u 的積分整理一下得到

    3          sqrt(3-u)              3      sqrt(3-x)
   ∫  ------------------------ du = ∫  ----------------------------- dx
    0    sqrt(u) + sqrt(3-u)          0   sqrt(x)+sqrt(3-x)


  ( u 只是 dummy variable 而已 )

                 3        sqrt(x)                 3      sqrt(3-x)
  換句話說就是  ∫  ----------------------- dx = ∫ ---------------------- dx
                 0    sqrt(x) + sqrt(3-x)         0   sqrt(x) + sqrt(3-x)

  以圖形來說就是 http://tinyurl.com/kvmgbgq

  紅線跟藍線在 x 從 0 到 3 曲線下的面積相同


  兩個定積分加起來剛好等於 3


             3        sqrt(x)
   故 3 = 2 ∫ ----------------------- dx
             0   sqrt(x) + sqrt(3-x)

  因此有該積分等於 3/2

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推 wayn2008    : 推 清楚明白XD
推 blackmmm    : 原來如此!!! 非常感謝