推 june10th : 第一題上下限的確是我給錯了 是從a到b 05/10 16:30
推 june10th : ...然後其實我看不太懂.....囧rz 05/10 16:37
※ 引述《june10th (囧天使)》之銘言：
: a,b,c皆實數
: 證明
: a
: ∫(x-a)(x-b)dx=(1/6)*(a-b)^3
: b
你寫錯了，答案多一個負號，不然就是積分範圍是從 a 到 b
a+b b-a
x-a = x+α+β， x-b = x+α-β，其中 α = - ----- ， β = ------
2 2
故原積分等於
(a+α)^3 (b+α)^3
---------- - ------------ + β^2 (b-a)
3 3
(a-b)^3 (b-a)^3
= --------- + ----------
12 4
- 1
= ----- (a-b)^3
6
: 證明
: c
: ∫ (x-a)(x-b)(x-c)dx=(1/12)*(a+c-2b)*(a-c)^3
: a
: 請板友們給個方向吧
c
先用分部積分寫成 - 1/2 * ∫ (x-b)^2 [ (x-a) + (x-c) ] dx
a
c c
= -1/2 * (2b-(a+c)) ∫ (x-b)^2 dx - ∫ (x-b)^3 dx
a a
= 1/6 * (a+c-2b) [(c-b)^3-(a-b)^3] - 1/4 [(c-b)^4-(a-b)^4]
= 1/12 * (a+c-2b) * (a-c)^3
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