推 firce7772004: See: Cauchy principal value 05/12 01:00
→ yhliu : 1. 是 2. 的 柯西主值. 但瑕積分的定義不是這樣算. 05/15 05:42
→ yhliu : 試想一下, 積分範圍是整條數線時, f(x-a) 與 f(x) 05/15 05:44
→ yhliu : 的積分如果存在, 是否應該一樣? 或者說, 如果 2. 的 05/15 05:45
→ yhliu : 積分如果存在, 是不是以任何一點為分割點分成兩個 05/15 05:45
→ yhliu : 積分在加總, 結果是不是應該一樣? 然而, 1. 如果改 05/15 05:46
→ yhliu : 成以其他點而不以 0 為分割點, 其極限值是不同的, 05/15 05:47
→ yhliu : 即: ∫_[-t,t] sin(x) 與 ∫_[a-t,a+t] sin(x) 的極 05/15 05:49
→ yhliu : 限不等. 05/15 05:49
→ yhliu : 至於 3. 的問題關鍵不在於其真正結果是發散的, 而在 05/15 05:50
→ yhliu : 於微積分基本定理 ∫_[a,b] f(x) dx = F(b)-F(a) 的 05/15 05:51
→ yhliu : 套用必須 F(x) 確實是 f(x) 的反導數. 05/15 05:51
→ yhliu : 雖然一般我們寫 ∫1/(x-1) dx = ln|x-1| + C, 但在 05/15 05:52
→ yhliu : 包含 1 的區間, ln|x-1| 並非 1/(x-1) 的反導數. 05/15 05:53
→ yhliu : 確實, 在不包含 1 的區間, 也就是說在 (1,∞) 及在 05/15 05:54
→ yhliu : (-∞,1), ln|x-1| 都是 1/(x-1) 的反導數, 但一跨 05/15 05:54
→ yhliu : 越 1 就不是. 05/15 05:55
推 yhliu : 例如 sgn(x) = -1 當 x<0, =0 當 x=0, =1 當 x>0 05/15 06:02
→ yhliu : (取消上一列) 05/15 06:04
→ yhliu : 例如 F(x) = x[x]/2 在非整數點的斜率是 (x+[x])/2 05/15 06:17
→ yhliu : 因此可以說在不包含整數點的區間, (x+[x\)/2 的反導 05/15 06:18
→ yhliu : 函數是 x[x]/2 + C. 但在包含整數點的區間積分 05/15 06:19
→ yhliu : (x+[x])/2, 卻不能以 F(b)-F(a) 代入計算. 05/15 06:20