[分析] 級數加總問題

[znmkhxrw (QQ)]

這問題源自於exp函數用級數定義時，書上證明了：

exp(x+y) = exp(x)exp(y)

            ∞   n                 ∞        ∞
證明是利用：Σ  Σ  a_n*b_(n-k) =（Σ a_n）（Σ b_n） --- (●)
            n=0 k=0                n=0       n=0

這用圖形來看的話就是：左邊是由對角線加下去
                      右邊用product rule拆成同樣n跑的話，就是正方形一層一層加


但經由嚴格證明時，我是證出：若a_n,b_n皆非負，其個別級數收斂，則(●)成立

（用夾擠定理）

但如果沒有"非負"我證不出來，因此我嘗試加入更強條件：個別級數絕對收斂

推導出（●）的左式會收斂，但是證不出會等於右式....


感覺只要其中一種加總方式收斂，其他加總方式也會收斂到同一值

謝謝幫忙!

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→ jack7775kimo: 印象中要有一些絕對收斂的條件,n^(-1/2)(-1)^n自乘
→ jack7775kimo: 取Cauchy product後應該會發散,Baby Rudin書中印象
→ jack7775kimo: 有,可能在第三章
→ znmkhxrw    : 請問加入絕對收斂此條件後，Rudin是證出不止原式兩
→ znmkhxrw    : 邊存在，且相等??
→ jack7775kimo: 剛翻了一下，其中一個有絕對收斂就相等
→ znmkhxrw    : 書的全名可以給我嗎 感謝!!
→ THEJOY      : Baby Rudin = Rudin 高微 = Mathematical Analysis
→ znmkhxrw    : 我剛剛正要回google後 baby rudin就是高微那本XDDD
→ znmkhxrw    :  翻樂之後我兩個疑問完全是他裡面的頂定理 謝啦!
→ jack7775kimo: 不客氣XD