推 aq1 : 非常感謝您 05/18 00:04
※ 引述《aq1 (aq1)》之銘言：
: 設a>0，f(x)=x^3+a^2和g(x)=x^2+(a^2)*x的圖形有三個相異交點，已知兩個函數圖形圍成
: 的兩個區域面積想等，試求:
: (1)a的值
: (2)其中一塊區域的面積
: (1)a=1/3 (2)Area=4/81
:
: 然雖然解出來 A但我覺得我的解法怪怪的，似乎邏輯不太通順
: 令h(x)=f(x)-g(x)
: 令
: h(x)=0 有解a,-a,1
: h'(x)=0 猜有極大，極小值
: h"(x)=0 猜x=1/3為對稱中心 猜a=1/3
: a 1
: | ∫h(x)dx | = | ∫h(x)dx |
: -a a
: 驗證a=1/3
: 這樣做對嗎?
不對，沒有對稱喔，你看一下就知道了
h(1/3 + δ) + h(1/3 - δ) = 4/27 (9a^2-1)≠0
h(x) = (x-1)(x-a)(x+a)，因為有三個交點，故 a≠1，
又 lim g(x)/f(x) = 0， 所以 a < 1
x→∞
a
左邊那塊圍出的面積 = ∫ f(x)-g(x) dx = 4/3 a^3
-a
1
右邊那塊圍出的面積 = ∫ g(x)-f(x) dx
a
1
= ∫ (1-x)(x-a)(x+a) dx
a
1
= - 1/2∫ (x-a)^2 [-2(x-a)-3a+1] dx
a
= 1/4 (1-a)^4 + (3a-1)/6 (1-a)^3
由題目給的條件得到 16a^3 = (3a+1)(1-a)^3
=> 0 = 16a^3 - (3a+1)(1-a)^3
= (a+1)^3 (3a-1)
故 a = 1/3，此時截出任一塊的面積為 4/3 * 1/27 = 4/81
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