Re: [中學] 多項式兩題求解

[Eliphalet (Mournful Monday)]

※ 引述《kyrieny (kyrie)》之銘言：
:  2.F(X)=X^999+X^888+X^777......+X^222+X^111+10
:    求其除以X^9+X^8+X^7+......X^2+X^1+1之餘式?
:    我的做法是
:    F(X)=(X^9+X^8+X^7+......X^2+X^1+1)Q(X)+R
:    同乘(X-1)
:    (X-1)F(X)=(X^10-1)Q(X)+R(X)(X-1)
:    透過同餘定理化簡後得到
:    X^9+X^8+X^7+......X^2+X^1+10=R(X)(X-1)
:    X帶入1
:    然後答案就又錯了QAQ
:    答案為9
:    以上兩題麻煩各位高手幫我解惑   感謝各位~


    你的思路可行啊，稍微修正就有答案了


    令 1+x^111+x^222+...+x^999 = (x^10-1)Q(x) + R(x)


    則有 R(x) = 1 + x + x^2 + ... + x^9 ， 那麼


     1+x^111+x^222+...+x^999 = (1+x+x^2+...+x^9) * [ (x-1)Q(x)+ 1 ]

                            := (1+x+x^2+...+x^9) * P(x)


    因此 F(x) = (1+x+x^2+...+x^9) P(x) + 9

    所以答案是 9

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→ Lanjaja     : 有 R(x) = 1 + x + x^2 + ... + x^9
→ Lanjaja     : 可以說一下怎麼求得的嗎?
→ Eliphalet   : 把 x^10 都帶入 1
推 LPH66       : 或者可以這樣看: 這條式子就是除以 x^10-1 求餘式
→ LPH66       : 而長除法寫下來就會看到所有大於 x^10 的項上個商
→ LPH66       : 就會扣掉 10 次方, 所以 x^999 最終會變成 x^9
→ LPH66       : x^888 最終會變成 x^8, 依此類推
→ Eliphalet   : 對，我的意思就是上面 L 大說的
推 Lanjaja     : 謝謝 我看懂了
→ Lanjaja     : 我看懂L大的方法，可是看不懂x^3代入1的做法