推 sle123456789: 謝謝 05/19 11:59
※ 引述《sle123456789 (sle)》之銘言：
: 題目如下網址：
: http://imgur.com/Xos4pFN
: 請教一下如何證明式子是對的呢？
: 謝謝……
我的作法有點煩，但只要會因式分解就行了
觀察一下可得在 n 位數時
左邊那三個數分別為 a_n := 10^(n-1) + 6 x 10^(n-2) + ... + 6
b_n := 5 x 10^(n-1)
c_n := 3 x 10^(n-1) + ... + 3
令 d_n = 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 1
則有 a_n = 6 d_n - b_n，
故原式 = a_n ^3 + b_n^3 + c_n^3
= 243 d_n^3 - 108 d_n^2 b_n + 18 d_n b_n^2
= 243 d_n^3 - [ 2 x 10^n x 27 d_n^2 ] + [5 x 10^(2n-1) x 9 x d_n]
= (1/3)*(10^n - 1)^3 - (1/3)*(2x10^n)*(10^n - 1)^2
+ 5x10^(2n-1)*(10^n - 1)
= 1/6 * (10^n - 1) * ( 10^(2n) + 2 )
= (3 d_n) * ( 5 x 10^(2n-1) + 1 )
這是一個 3n 位數，而且可看出其個位數，百位數，... ， n 位數皆為 3 ( 3d_n 部分)
3d_n * (5 x 10^(2n-1) ) = d_n 10^(2n) + 5d_n 10^(2n-1)
=>
10^(3n-1) + 10^(3n-2) + ... + 10^(2n)
+) 5x10^(3n-2) + ... + 5x10^(2n) + 5x10^(2n-1)
----------------------------------------------------------------------
所以 3n 位數 = 1，(3n-1)位數 = 6，...， (2n+1) 位數 = 6
2n 位數 = 5，(2n-1) 位數到 (n+1) 位數都是 0
所以該數的確是長成
166..6500..0333..3 這個樣子
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