Re: [線代] 如何產生 subspace of R3，不是很懂

[Eliphalet (Mournful Monday)]

※ 引述《ycchien (ycchien)》之銘言：
: http://i.imgur.com/UK00i5D.jpg
: 第七題 題目是這樣↑
: http://i.imgur.com/gMK02oo.jpg
: 解答是這樣↑
: 但我不清楚 (1,4,3) = 3(-1,2,1) + 2(2,-1,0) 這是怎麼產生的@@


  除了直接用看的外，可以考慮解方程式

  a(-1,2,1) + b(2,-1,0) + c(1,4,3) = (0,0,0)

  => -a+2b+c = 0, 2a-b+4c = 0 ， a+3c = 0

  解出方程式得到 a = -3c，b = -2c

  代入 c = 1 可得 3(-1,2,1) + 2(2,-1,0) = (1,4,3)


: 我有算出 linear combination ，得到他們是 linearly independent，可是解都是 0
: ，為何還可以產生以上的式子呢 …？

  所以這根本不是 linearly independent 啊 ...

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.213.135
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1432784728.A.1BE.html
※ 編輯: Eliphalet (114.46.213.135), 05/28/2015 11:47:27
→ ycchien     : 可是解答不是說他們是 linearly independent 了嗎
→ ycchien     :  …
→ ycchien     : 為什麼不是呢 ……
  你需要加強閱讀能力，你的解答不是寫著

  ..., and (-1,2,1) and (2,-1,0) are linearly independent, ...

  從頭到尾只有說 (-1,2,1) 和 (2,-1,0) 是 independent，

  哪來的他們(三個)是？
※ 編輯: Eliphalet (114.46.213.135), 05/28/2015 11:55:42
推 ycchien     : 所以我的算法一開始就是錯的摟 …？
→ ycchien     : 我在我的原文有重新編輯，方便幫我看一下嗎@@ 謝謝
→ ycchien     : 您！
 你算的 http://i.imgur.com/wJxZ9ju.jpg

 你連列式都列錯了 = =

 是 -c_1 + 2c_2 + c_3 = 0 

 所以算出來是  c_1 = -3c_3 ， c_2 = -2c_3

 第三步也錯，並不會 c_1,c_2,c_3 都等於 0

 只要 (c_1,c_2,c_3) = (-3t,-2t,t)，t 屬於 R，都是解
※ 編輯: Eliphalet (114.46.213.135), 05/28/2015 12:09:00
→ ycchien     : sorry QQ
→ ycchien     : 可是正常不是 c_1，c_2 算出後再代入未代入過的式子
→ ycchien     : ，這樣算出就是 c_3 = 0 了嗎 …？
 你要不要花點時間代入看看，只會出現 0 = 0 而已
※ 編輯: Eliphalet (114.46.213.135), 05/28/2015 13:33:56
→ ycchien     : 謝謝@@ 我前面有代入過，因為又代錯，所以才算錯了@
→ ycchien     : @
→ ycchien     : 我可以再詢問一下嗎 @@
→ ycchien     : 為什麼 (-1,2,1)、(2,-1,0) 可以說是 linearly inde
→ ycchien     : pendent …？
→ ycchien     : 他們組合並沒有 = 0 不是嗎…？
→ wohtp       : 正因為這兩個向量組不出(0,0,0)，才說它們是獨立啊
推 BrowningZen : 解只有0=>trivial=>有linearly independent的vector
→ BrowningZen : 在裡面
→ ycchien     : 不好意思各位大大們，可以糾正我的理解嗎
→ ycchien     : 我對 linearly independent 的理解是：他們 vector
→ ycchien     :  的組合是 0、他們的解 c_1=c_2=c_3=0
→ ycchien     : 請問這樣對嗎？
推 APM99       : 不對  因為看不懂你再說啥
→ ycchien     : 就是@@
→ ycchien     : (0,0,0) = 0(-1,2,1) + 0(2,-1,0)
→ ycchien     : 這樣才是 linearly independent 吧…？
推 APM99       : 一樣  不懂你再說啥
→ APM99       : 定義就在那裏了  照定義來即可
推 BrowningZen : C只有0解是linearly independent沒錯
→ ycchien     : 可是這題算出來是
→ ycchien     : (1,4,3) = 3(-1,2,1) + 2(2,-1,0)
→ ycchien     : 這樣應該是 linearly dependent 了吧 …？
  快暈倒了，(1,4,3) = 3(-1,2,1) + 2(2,-1,0)

  是，沒錯，完全正確！ 就是 linearly dependent

  前面就是在講這個 ...

  如果定義跟其代表的意義不清楚，請去翻課本

  至於 {(-1,2,1),(2,-1,0)} 是 independent，就如推文說的，照定義來

   a(1,-2,1) + b(2,-1,0) = (0,0,0) <=> a = 0 = b

  所以 {(-1,2,1),(2,-1,0)} 是 linearly independent

※ 編輯: Eliphalet (114.46.213.135), 05/28/2015 18:31:14
推 DDMO        : a(1,-2,1)+b(2,-1,0)=(0,0,0)<= a=0=b 不用特意強調
→ DDMO        : 因為這方向雖然是trivial但是跟獨不獨立無關
推 DDMO        : 線性獨立:只有在c_1=c_2=c_3=0時vector的線性組合
→ DDMO        : 才為0