Re: [代數] 請教大大一題倍數證明

[Eliphalet (Mournful Monday)]

※ 引述《rfvbgtsport (uygh)》之銘言：
: 如何証明，連續n個正整數乘積，必為
: n！的倍數？
: 請大大指點一下，謝謝


  令此 n 個連續正整數為 k+1,k+2,...,k+n， k 為不小於 0 之整數

  並令 P = (k+1)(k+2)...(k+n)

  則 k! * P = (k+n)!，又 P/n! = (k+n)!/(k!n!) 為整數

  故 n!| P

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推 softseaweed : 我想問P若不從k+1開始的話，k!*P不就不等於(k+n)!
→ wayn2008    : 你用k+l開始，我們就乘(k+l-1)!呀
推 softseaweed : 6*7*8是連續三個正整數乘積，也是3!的倍數
→ softseaweed : 但是3! * 6*7*8 不等於 (3+3)!
 這時候我們不會乘以 3!，而是乘以 5!

  => 5! (6*7*8) = 8! 所以 6*7*8 = 56 * 3!

 這樣說好了，讓這一堆連續正整數為 a_1,a_2,...,a_n

 k := min {a_1,a_2,...,a_n} - 1

 所以 k 是隨著你給定的整數不同就會跟著變的

→ wayn2008    : 或是直接用k+1代表你要的數字即可，原po只是用簡潔
→ wayn2008    : 的式子讓你理解
※ 編輯: Eliphalet (114.46.213.135), 05/29/2015 18:02:45
→ wayn2008    : 6*7*8是乘上5!....
→ softseaweed : 等等 為甚麼是乘5! ? 連續n個乘績必為n!倍數
→ softseaweed : 所以連續三個正整數乘績需要是三!的倍數
→ softseaweed : 我理解錯誤嗎= =
→ wayn2008    : p=8*7*6=>5!p=8!=>p/3!=8!/(3!5!)
推 softseaweed : 我把k!跟n!搞混了 感謝
推 mack        : 請教(k+n)!/(k!n!) 是整數怎麼證  我知道他是巴斯卡
 就  C(n+k,k) 啊 @@
※ 編輯: Eliphalet (114.46.213.135), 05/29/2015 20:59:48
→ Starvilo    : 不用證吧
推 mack        : C(n+k,k)是整數  有很自然嗎
 我是覺得組合數是正整數是很自然的事情

 那或者照你說的從 Pascal's triangle 下手

 從 C(n+k,k) = C(n+k-1,k-1) + C(n+k-1,k)

 用歸納法也可以證明是整數吧


→ a21802      : "排列"是整數個 應該很合理吧
推 Starvilo    : 1*...n*(n+1)...*(n+k)or1*......*k*(k+1)...*(k+n)
→ Starvilo    : =(n+k)!
→ Starvilo    : 整除n!&k!
※ 編輯: Eliphalet (114.46.213.135), 05/29/2015 22:53:51
推 rfvbgtsport : 謝謝大大們