[微積] 數列證明題組 (an)→sin(an)

[sunlight1016 (小晃)]

我不會用PTT打複雜的數學符號所以縮成圖

http://i.imgur.com/DtqM7Ml.jpg

是兩題是非證明題

認為是正確了話要證明

錯誤要舉反例

大意大概是這樣

1.若 an > 0 for all n 屬於 N 且 sigma an 收斂, 則 sigma sin(an) 也收斂

2.若 sigma an 收斂, 則 sigma sin(an) 也收斂



第一題比較直觀一點

若 sigma an 收斂 則  lim an = 0
                    n→∞

又
         sin(an)          sin x
   lim  ──── =  lim  ─── = 1 > 0
  n→∞    an      x→∞    x

由 Limit Comparison Test 可知

an 與 sin an 有相同的收斂性

若 an 收斂 則 sin(an) 收斂

若 an 發散 則 sin(an) 發散



但第二題我就被混淆了

沒有 an > 0 for all n 屬於 N 的預設條件了話

就不能用 Limit Comparison Test 去證明了

直覺上應該是錯的

但是我找不到反例

有人能幫我解惑嗎QQ






--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.114.206.16
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1433196751.A.65C.html
※ 編輯: sunlight1016 (140.114.206.16), 06/02/2015 06:14:01
推 motivic     : 反例: an=(-1)^n/n^0.5
→ softseaweed : 2任舉一個alternating series就爆了
→ softseaweed : 應該說舉一個會diverge的，不是任舉orz
→ motivic     : i was wrong..XD
→ motivic     : 1/1+1/2^(1/3)-2/4^(1/3)+1/5^(1/3)+1/6^(1/3)-1/7^