再把題目整理一下
已知反例 (感謝 motivic 大提供
1/n^(1/3) if n = 1,2 mod 3
an =｛
-2/n^(1/3) if n = 0 mod 3
-2/n^(1/3) 若n為3的倍數
=｛
1/n^(1/3) 若n為非3的倍數
= 1/(3k-1)^(1/3) + 1/(3k-2)^(1/3) - 2/(3k)^(1/3)
這三項應該可以視為 p-series
其中P>1 所以是發散
三個發散的數列加起來不是也是發散嗎?
以下藍字為 Eliphalet 大的解法
因為 a_n - sin(a_n) = (a_n)^3/6 + O(a_n^5)
請問這個等式是怎麼來的?
還有其中 O(a_n^5) 的 O 是甚麼意思?
所以 m 大你是從 Σa_n 收斂但 Σa_n^3 發散下手的嗎？
這個反例漂亮
sin(1/(3k-1)^(1/3)) + sin(1/(3k-2)^(1/3)) - sin(2/(3k)^(1/3))
= sin(1/(3k-1)^(1/3)) - cos(1/(3k)^(1/3))sin(1/(3k)^(1/3))
+ sin(1/(3k-2)^(1/3)) - cos(1/(3k)^(1/3))sin(1/(3k)^(1/3))
> (3k-1)^(-1/3) - (3k)^(-1/3) + (1/18) (1/k)
+ (3k-2)^(-1/3) - (3k)^(-1/3) + (1/18) (1/k)
所以 sin(a_n) 趨近於 +∞
為什麼證明出 sigma sin(an) > sigma an 就能得知 sin(an) 發散呢?
不好意思問題很多
希望大家能幫我解惑
感激不盡QQ
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