推 motivic : ha..thx..已修改 06/03 10:47
※ 引述《motivic (Ian)》之銘言：
: 其實可以更簡單一點,
: Let {an}={1,1,-2,1/2^(1/3),1/2^(1/3),-2/2^(1/3),1/3^(1/3),1/3^(1/3),-2/3^(1/3),
: Hence sum an = 0
: and sum sin(an)=sum (2sin(1/n^(1/3)) - sin(2/n^(1/3)))
: Note that 2sin(x)-sin(2x)=2sin(x)(1-cos(x))
: =2(x+O(x^3))( x^2/2 + O(x^4))
: = x^3 + O(x^5).
推文很難說清楚，所以我就回文了
這個例子比昨天的更好，但顯然下面的計算有錯誤
\sum{\sin{a_n}} 要是 +\infty 才對
從上面寫的，
\sin{a_{3k-2}} + \sin{a_{3k-1}} + \sin{a_{3k}}
= 2 \sin{1/k^(1/3)} - \sin{2/k^(1/3)}
= 1/k + O(1/k^(5/3)) as k \to \infty
這樣的話， \sum {\sin{a_n}} 要正無窮大才對
事實上， a_n - sin(a_n) = 1/6 a_n^3 + O(a_n^5) as n\to \infty
如果 \sum{a_n} 收斂， \sum{a_n^(5)} 也收斂
那麼， \sum {\sin{a_n}} 跟 \sum{a_n^3} 是不同號的
例如這個例子 ，顯然 \sum{a_n^3} = -\infty，那麼
\sum{\sin{a_n}} = +\infty
: Thus, sum sin(an)= sum (1/n+1/n - 8/n + O(1/n^(5/3))
: = sum (-6/n) + O(1) = -00.
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