Re: [微積] 求導數

[LPH66 (-6.2598534e+18f)]

※ 引述《carelai (我心依舊)》之銘言：
: 已知f(x)=exp(exp(3x))，其中exp為E^(變量)的縮寫。
: 求f(x)的n階導數在0點的值。謝謝。
所求即是 exp(exp(3x)) 在 x = 0 的泰勒展開式係數乘以 n!

那麼令 y = exp(3x) 代入 exp(y) 的展開式

得 exp(exp(3x)) = 1 + exp(3x) + exp(6x)/2! + exp(9x)/3! + ...

每一項再個別展開

exp(3kx)/k! = (1/k!) (1 + 3kx + (3kx)^2/2! + (3kx)^3/3! + ...)

故 x^n 係數為

∞   (3k)^n     3^n  ∞   k^n
Σ  -------- = ----- Σ  -----
k=0   n! k!      n!  k=0   k!

後者和式為 Dobinski's formula, 其和為 B_n * e, 其中 B_n 為 Bell number

故所求即為 3^n * B_n * e

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Bell number: http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number

             1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, ...

Dobinski's formula: http://en.wikipedia.org/wiki/Dobinski%27s_formula

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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；        
    也有人喜歡邊聽歌邊打字。      
        但是，我有個請求，          
            選字的時候請專心好嗎？
                                      -- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白

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→ yyc2008     : 請問怎麼查到這個名詞的?以前學過的?
推 carelai     : 謝謝，原來要用到Bell number這個我不知道的東西
→ LPH66       : 我是算前幾項之後丟去 OEIS 它告訴我是 Bell number
→ LPH66       : 然後在維基 Bell number 詞條下這條和式就寫這名字
推 yyc2008     : 謝謝
啊, 補充一點: 這個和式在 n 比較小時

可以由 e^x 的展開式重覆「逐項微分再乘以 x」, 最後再代 1 算得

例如 n = 2: 微分再乘 x 再微分再乘 x

得 (x^2+x) e^x = Σ(k^2 x^k)/k! 代 1 得 2e

n = 3: 上式再微分再乘 x

得 (x^3+3x^2+x) e^x = Σ(k^3 x^k)/k! 代 1 得 5e

依此類推, 這樣前幾項就能手算出來了
※ 編輯: LPH66 (123.195.39.85), 06/05/2015 01:02:20