※ 引述《Eliphalet (Mournful Monday)》之銘言：
: ※ 引述《xy210742 (Sam)》之銘言：
: : http://i.imgur.com/QWWYZT6.jpg
: : 請問各位大大
: : 此題該如何證明呢
: : 是用拉普拉式嗎？
: : 感謝大大指教
: 推 a016258 : z-3-11(12,13) 06/05 09:44
: 精華區這題好像不能看？
: 這題還要再加個條件，即 a/b > 0
: 還有這題目有錯，是 ln(b/a) 不是 ln(a/b)
: 不失一般性，可假設 0 < a,b
: ∞ cos(αx)
: 注意到對任意 h > 0，α≠0，∫ ------------ dx 此瑕積分存在
: h x
: ∞ cos(ax) ∞ cos(x)
: 又 ∫ --------- dx = ∫ --------- dx
: h x ah x
: ∞ cos(bx) ∞ cos(x)
: 同理 ∫ ---------- dx = ∫ -------- dx
: h x bh x
: ∞ cos(ax) - cos(bx)
: 因此 ∫ -------------------- dx → cos(0) * ln(b/a) as h→0+
: h x
: = ln(b/a)
沒看到你標題寫工數，
你要用 Laplace transform 來做也可以
但條件不變 a/b 還是要大於 0
已知 L[cos(ax)] = s/(s^2+a^2)，L[cos(bx)] = s/(s^2+b^2)
原式 = L[ (cos(ax)-cos(bx))/x ]|
s=0
∞ s s
= ∫ ------- - --------- ds
0 s^2+a^2 s^2+b^2
∞
= 1/2 * ln ((s^2+a^2)/(s^2+b^2)) |
0
= - 1/2 * ln(a^2/b^2)
= - ln(a/b)
= ln(b/a)
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