→ douglas0741 : 抱歉~3應該是 通過中心最短的弦 06/06 19:55
※ 引述《douglas0741 (這樣對還是不對?)》之銘言：
: 試證明: 橢圓中 1.正焦弦為最短焦弦
: 2.長軸為最長弦
: 3.短軸為最短弦
: 忽然間被問到..感覺很直觀不知道如何證明 有從參數式下手,但是無功而返
: 希望有高手能夠指點~
不失一般性，可以考慮橢圓的標準方程(不然就旋轉坐標軸 + 平移)
x^2 y^2
----- + ----- = 1
a^2 b^2
令此橢圓為 Γ 並設 a > b > 0
其焦點為 F1(-c,0) 及 F2(c,0)， c = sqrt(a^2-b^2)
1.
設半正焦弦長為 d，則有 (2a-d)^2 = d^2 + 4(a^2-b^2)
=> d = b^2/a => 正焦弦長 2d = 2b^2/a
令一過 F2 點直線 L : y = m(x - c) 交 Γ 於 P1 P2
代入方程式中並經過計算後得到
4a^2b^2 [m^2(a^2-c^2)+b^2](m^2+1)
(dist(P1,P2))^2 = ------------------------------------
(m^2a^2 + b^2)^2
2ab^2 (m^2+1)
所以 dist(P1,P2) = -------------------
(m^2a^2 + b^2)
2b^2 m^2 + 1
= ------ * -----------------
a (m^2 + (b/a)^2)
≧ 2b^2/a = 2d
2.
可考慮圓 C : x^2+y^2 = a^2 ，則對於 C 上的點 (x,y)
x^2/a^2 + y^2/b^2 ≧ 1 ， 因此橢圓 Γ 在 C 的內部
或頂多碰到 C 的邊界，因此
2a = diam (C) ≧ diam(Γ)
( diam(Γ) 為 Γ 上任取兩點其距離的最大值)
又長軸 = 2a ， 因此長軸為最長弦
3.
這有點問題，顯然正焦弦長 = 2b^2/a < 2b
這就不對了
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