Re: [中學] 高中橢圓相關證明

[mathsun (數戰數決)]

不好意思,借標題問一個橢圓相關的問題...

已知橢圓:(x^2/25)+(y^2/16)=1, 點A(2,1)
求A點到橢圓的最短距離與最長距離.

想法: 設P(5cosθ,4sinθ)為橢圓上一點
      則PA的平方為
      (5cosθ-2)^2 + (4sinθ-1)^2
      = 25(cosθ)^2-20cosθ+4+
        16(sinθ)^2-8sinθ+1
      = 9(cosθ)^2+16-20cosθ-8sinθ+5
      = 9(cosθ)^2-20cosθ-8sinθ+21

接下來呢? 如果不能用微積分要怎麼做?
還是有其他的方法? 謝謝!

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推 whalelover  : 數字很醜
→ Eliphalet   : 有其他方法啊，不過問題在於數字非常之醜，手算可
→ Eliphalet   : 能沒辦法，光是你寫的9(cosθ)^2-20cosθ-8sinθ+21
→ Eliphalet   : 這家伙要求 stationary point 就很圈叉了
→ whalelover  : 應該是有closed form 不過可能要解四次方程式之類的
→ kerwinhui   : 只要三次就好了，不過還是很醜
→ Eliphalet   : 這應該是要丟給記算機算的工作...
→ kerwinhui   : closed form要用到很醜的sqrt[3]{sqrt{425049}-648}