推 wayne2011 : 廣義的情形仍有三角函數,BM^2=Scos(B/2),其中S為三 06/10 10:01
→ wayne2011 : 角形面積,可參看"初幾研究"(九章出版) 06/10 10:02
推 wayne2011 : 更正,BM^2=Scot(B/2) 06/10 10:11
※ 引述《chkensou (Zexx)》之銘言：
: △ABC中∠C為90度，點D在斜邊AB上
: 已知△ACD之內切圓與△BCD內切圓有相同的半徑
: 證明：CD^2＝△ABC面積
: 有辦法不用三角函數、不定坐標證明出來嗎？
設△ABC中,D在AB上,且△ACD的內切圓半徑與△BCD的內切圓半徑相同
則CD^2=s(s-c)
Proof.
設CD=x,△ABC半周長為s,△ACD半周長為s1,△BCD半周長為s2
△ABC內切圓半徑r,△ACD與△BCD內切圓半徑ρ
△ABC=△ACD+△BCD => rs=ρ(s1+s2)=ρ(s+x) ~(1)
由相似形,合比,(1)可知
ρ s1-x s2-x s-x s
--- = ------ = ------ = ----- = ----- => x^2=s(s-c) QED
r s-a s-b c s+x
在此題中 CD^2=x^2=s(s-c)=((a+b)^2-c^2)/4=ab/2=△ABC
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