Re: [中學] 遞迴

[Eliphalet (有冇睇過豬玀公園)]

※ 引述《cheesesteak (牛排‧起司)》之銘言：
: 設無窮數列 a_1, a_2, a_3, ... 滿足
: (n+1)*a_n = 2*a_(n-1) + n - 1,   n=2,3,4,...
: 若a_3=5，則下列哪些選項正確？


 只有 (2)，(4) 跟 (5) 是對的


: (1)a_4=4

    5 a_4 = 2 a_3 + 3  => a_4 = 13/5

: (2)<a_n>不可能有一項的值為1


    a_1 = 13， a_2 = 9

    a_3 > 1， 設 a_n > 1 ， n > 2 ，

                    2             n
    則  a_{n+1} = ----- a_{n} + -----
                   n+2           n+2

                     n+2
                 >  ----- = 1
                     n+2

    因此每一項都大於 1

: (3)a_10 = 2^10/10! - 1


    可算出 a_n 的一般項為

                   2^(n+1)
     a_n   =  6 * -------- + 1， n = 2,3,4,...
                   (n+1)!

                 12   2^10
     故 a_10 =  ---- ------  + 1
                 11   10!


: (4)<a_n>中恰有3項為整數


    從一般項可看出只有 a_1，a_2,a_3 是整數而已


: (5)<a_n>收斂且lim_n→inf a_n = 1


    因為  lim 2^n/n! = 0 ， 故 lim a_n = 1

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.223.36
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※ 編輯: Eliphalet (114.46.223.36), 06/17/2015 22:19:34
推 cheesesteak : 請問an的一般項怎麼算出來的?
   方法大概跟下面 LPH66 大寫得差不多，

    令 t_k = a_k - 1 ， k = 1,2,3,... 則


    t_n = a_n - 1

        =  2/(n+1) * (a_{n-1}-1)

        =  2/(n+1) * t_{n-1}

        = ...

        = 2^n/(n+1)! * 12

     故  a_n = t_n + 1 = 6*2^(n+1)/(n+1)! + 1
※ 編輯: Eliphalet (114.46.223.36), 06/17/2015 23:12:51
推 cheesesteak : 感謝!