→ cheesesteak : 感謝! 06/17 23:24
※ 引述《cheesesteak (牛排‧起司)》之銘言：
: 設無窮數列 a_1, a_2, a_3, ... 滿足
: (n+1)*a_n = 2*a_(n-1) + n - 1, n=2,3,4,...
: 若a_3=5，則下列哪些選項正確？
: (1)a_4=4
: (2)<a_n>不可能有一項的值為1
: (3)a_10 = 2^10/10! - 1
: (4)<a_n>中恰有3項為整數
: (5)<a_n>收斂且lim_n→inf a_n = 1
(1) 直接計算知 a_4 = 13/5 故不選
[觀察]
寫開每一項可發現 a_n 是 2 個 a_(n-1) 跟 n-1 個 1 的算術平均
所以直覺上會看到越後面的項會越來越接近 1 (也就是 (5) 看起來可選)
而 a_3 = 5, 倒算回去 a_1 = 13 所以所有項都會比 1 大 (即 (2) 可選)
[計算]
接下來由觀察, 令 b_n = a_n - 1
則有 (n+1)(b_n + 1) = 2*(b_(n-1) + 1) + n - 1
整理得 (n+1)b_n = 2*b_(n-1) 即 b_n = (2/(n+1)) b_(n-1)
從這裡就很容易看出來 b_n 收斂, 極限是 0
所以 a_n 也收斂, 極限是 1, (5) 確實可選
把 b_n 的遞迴式展開可知 b_n = (2/3)(2/4)(2/5)...(2/(n+1)) b_1
= (2/2)(2/3)(2/4)(2/5)...(2/(n+1)) b_1
= (2^n / (n+1)!) * b_1
又 b_1 = 13 - 1 = 12
所以 b_10 = [2^10 / 11!] * 12, 即 a_10 = [2^10 / 11!] * 12 + 1, (3) 不選
(其實 (3) 可以由觀察排除, 因為選項中的數顯然小於 1,
但由觀察知所有 a 項都大於 1)
(4) 易知 n≧4 時 b_n 的分母有 5 的因數, 但分子是 2^n * 12 不會是 5 的倍數
故 n≧4 時 b_n 非整數; 於是 b_1 = 12, b_2 = 8, b_3 = 4 為僅有的整數項
於是 a_n = b_n + 1 也恰有 3 個整數項, 可選
綜合以上選 (2)(4)(5)
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LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
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