Re: [微積] 微積分學習瓶頸Orz

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《Philethan (PE)》之銘言：
: 各位神人好.......
: 我目前正在準備考台大的轉學考，雖然寫 James Stewart 的習題時都覺得沒什麼大
: 問題。但是，當我寫台大轉學考微B考古題時，我就覺得想得很慢，而且計算又容易
: 粗心.....讓我非常頭痛。
: 目前正在寫 Stewart 後面的 problem plus，我實在是很佩服想出這些題目的教授
: 們，每個題目都好花我的時間。我很想知道，我到底該怎樣突破現在的困境？

看了你下面的例子 歸納不出什麼問題耶...你寫別本的習題很OK代表基礎都有了

應該就是題目敏感度的問題了  偏偏這又是因人而異的感覺

但是多做題目確實是可以提昇的

下面的例子你都已經做出來啦XDDD

: 例子一：
: 在 Chapter 11: Infinite Sequences and Series，Problem Plus 第16題
: 已知一數列有如下關係：
: a0 = a1 = 1,   n(n-1)an = (n-1)(n-2)an-1  - (n-3)an-2
: 求出 sigma an（無窮級數）
: 我成功找出 an = 1/n!  （沒找錯的話=.=）
: 但我實在不知怎麼找它的無窮級數和啊.....慘

你算到1/n! 想求他sigma 我看到這個就想到
           x^n
e^x = sum ─── 所以就是e^1
            n!

但是這些基礎函數的其他形式其實你已經要很熟練了

例如 e = lim   (1+1/n)^n = sum 1/n! = ....
         n→inf


: 例子二：
: 在 Chapter 11: Infinite Sequences and Series，Problem Plus 第25題
: u = 1 + x^3/3! + x^6/6! + x^9/9!
: v = x + x^4/4! + x^7/7! + x^10/10!
: w = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + x^11/11!
: 證明 u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = 1
: 我怎麼想都想不出來....超級痛苦，已經想2小時了。
: 我觀察到
:              u'=w, w'=v, v'=u       u+v+w = exp(x)
: 那又怎樣呢！有想過 (u+v+w)^3 = ????，但總覺得這好像很複雜，應該不太可能。

很好阿  我也是看到u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw 又看到 = 1

馬上試試看 (u+v+w)^3 會等於多少 但是太複雜了 放棄

然後我一開始沒看到你的觀察: u'=w, w'=v, v'=u

不過心裡覺得這是個很好的觀察

之後再想 u,v,w都是函數 函數恆等於1.....嗯...

微分拉! 如果我能證明左邊微分等於0就解決了

果然就是微分就證出來了...而且會用到u'=w, w'=v, v'=u

: 我想請教的不單純是這題該怎麼解，我想問的是該如何提升自己的程度，到一種覺得

你就多做 你先在覺得的困境可能是：

題目你如開始沒sense 多試了幾條冤枉路 最後花大量時間還是做不出來

之後看解答後想說 靠杯 我怎麼沒想到

相信我 你不會白走的 你只要有想過 你的敏感度會一點一滴提昇的

這也是為什麼數學很難回答說: 為什麼這題你知道要這樣想

多想一定有幫助的 反而應付考試背題目與解答是最糟的
                 (如果時間緊迫或許短時間是個好方法)

加油

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推 Philethan   : 慘 例一明明是很簡單的問題 可能是被熱昏頭了..
→ Philethan   : 感謝 唉唉 看來也是只能「多多練習」了！！
→ Philethan   : 我覺得我對那些基本Maclaurin級數形式很熟的啊..
→ Philethan   : 真囧 剛剛已有版友水球跟我講例一解法，所以就刪了
→ Philethan   : 我也有想過證例二的微分等於零，但沒動筆寫..= =
所以我說你的觀察很好 要不是他們彼此的微分關係那麼漂亮
我可能也是想說微分 但是馬上就放棄而不實際算算看

差一步就做出來了 比起差很多步還是好很多

下次就進化到完全做出來囉

→ Philethan   : 唉唉真囧 感謝感謝
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.123.189), 06/19/2015 19:17:56
推 Philethan   : 感謝你的鼓勵....謝謝！！
→ kerwinhui   : 例二如果你知道複變的話很易解(用u+av+a^2w, a^3=1)
→ kerwinhui   : 有時候習題就是這樣，只能多多練習
→ kerwinhui   : u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)(u+av+a^2w)(u+a^2v+a^4w)
→ kerwinhui   : 又有u+av+a^2w=exp(ax),u+a^2v+a^4w=exp(a^2x)
→ kerwinhui   : 最後得=exp(x)exp(ax)exp(a^2x)=exp((1+a+a^2)x)=1
推 Philethan   : 很久以前複變修得非常高分，但...那是以前了Orz
→ kerwinhui   : 因為1+a+a^2=0,a primitive cube root of unity
→ Philethan   : 不過我是修電機系的複變 不是數學系的 =.=
→ Philethan   : 謝謝k大的解法，我會研究看看..感謝～
→ Philethan   : 可以幫我看看另外一題嗎？我修改在原文裡的「例二」