推 Philethan : 感謝Orz.............都忘記exp(x)了... 06/19 21:03
※ 引述《Philethan (PE)》之銘言：
: 例二：
: 在 Chapter 11: Infinite Sequences and Series，Problem Plus 第17題
: 將 x^x 位於 x=0 的值定為 1，並且「逐項積分」，證明
: 1 inf
: ∫x^x dx = sigma (-1)^(n-1) / n^n
: 0 n=1
: 這題我想說將左邊的積分式改寫為黎曼和，也許會看出什麼，但...什麼也沒有Orz
: 然後我就卡住了，超煩的啊～～真的沒什麼頭緒了。我一直在想它所謂的逐項積分
: 是不是有什麼涵義。它的原文是「and integrating a series term by term」。
: 可是當我改寫為黎曼和，也沒什麼用啊...=_=
: 1 n
: ∫x^x dx = limit sigma (0+i/n)^(i/n) * 1/n = .....Orz
: 0 n->inf i=1
照他的提示做，既然出現 term by term 表示要把 x^x 寫成級數形式
又 x^x = exp(xln(x)) = 1 + 1/1! (xln(x)) + 1/2! (xln(x))^2 + ...
由於 x^x 在 x = 0 的值定為 1 ，因此 x*ln(x) 在 x = 0 的值被定為 0
那麼由於 x*ln(x) 在 [0,1] 連續，現在就可以逐項積分了
從分部積分可得
(嚴格來說這裡不能直接套用微積分基本定理，還要再做一點處理)
1 n 1
又 ∫ (xln(x))^n dx = - ----- ∫ x^n (ln(x))^(n-1) dx
0 n+1 0
= ...
(-1)^n n!
= --------------
(n+1)^(n+1)
逐項積分的結果 (微積分嘛，就不要管是怎麼樣的收斂，Σ 跟∫能不能互換 )
1 ∞ (-1)^n
∫ x^x dx = Σ -------------
0 n=0 (n+1)^(n+1)
∞ (-1)^(n-1)
= Σ -------------
n=1 n^n
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