Re: [微積] 微積分學習瓶頸Orz

[yueayase (scrya)]

※ 引述《Philethan (PE)》之銘言：
: 各位神人好.......
: 我目前正在準備考台大的轉學考，雖然寫 James Stewart 的習題時都覺得沒什麼大
: 問題。但是，當我寫台大轉學考微B考古題時，我就覺得想得很慢，而且計算又容易
: 粗心.....讓我非常頭痛。
: 目前正在寫 Stewart 後面的 problem plus，我實在是很佩服想出這些題目的教授
: 們，每個題目都好花我的時間。我很想知道，我到底該怎樣突破現在的困境？
: 例一：
: 在 Chapter 11: Infinite Sequences and Series，Problem Plus 第25題
: u = 1 + x^3/3! + x^6/6! + x^9/9!
: v = x + x^4/4! + x^7/7! + x^10/10!
: w = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + x^11/11!
: 證明 u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = 1
: 我怎麼想都想不出來....超級痛苦，已經想2小時了。
: 我觀察到
:              u'=w, w'=v, v'=u       u+v+w = exp(x)
: 那又怎樣呢！有想過 (u+v+w)^3 = ????，但總覺得這好像很複雜，應該不太可能。
其實是可以硬幹的，不須求證u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw是常數，不過複雜很多...

                            x
觀察 v=w', u=v'=w'', u+v+w=e

             x
=> w''+w'+w=e   and w(0) = 0, w'(0)=v(0)=0

               x       x    x
令特解為w  = ce  => 3ce  = e  => c =1/3
         p
                                              2
對應的homogeneous的characteristic equation為 r  + r + 1 = 0

=> r = (-1±√-3)/2
                                  -x/2
=> homogeneous solution 的形式為 e     [c1 cos(√3x/2) + c2 sin(√3x/2)]

                    -x/2                                    x
=> 原方程式的解為 e     [c1 cos(√3x/2) + c2 sin(√3x/2)]+ e /3

        -x/2                                      x
令 w = e     [c1 cos(√3x/2) + c2 sin(√3x/2)] + e /3


    '    -x/2                                                    x
=> w  = e     [(√3c2-c1)cos(√3x/2)-(√3c1+c2)sin(√3x/2)]/2 + e /3


由initial condition:
0 = w(0) = c1+1/3

     '
0 = w(0) = (√3c2-c1)/2+1/3

=> c1 = -1/3, c2 = -1/√3

則u, v, w都可求出:

            -x/2                 x
u = w'' = 2e    cos(√3x/2)/3 + e /3

          -x/2                                      x
v = w' = e    [-cos(√3x/2)/3 + sin(√3x/2)/√3] + e /3

      -x/2                                     x
w = -e    [cos(√3x/2)/3 + sin(√3x/2)/√3] + e / 3

 3    3    3
u  + v  + w - 3uvw若直接代入會非常難算(雖然你可以用排列組合的方法求出係數)

        3   3   3                      2       2       2
但其實 u + v + w  -3uvw = (u+v+w)[(u-v) + (v-w) + (w-u)] / 2

       -x/2
u-v = e    [cos (√3x/2)-sin(√3x/2)/√3]

        -x/2
v-w = 2e    sin(√3x/2) / √3

        -x/2
w-u = -e    [cos(√3x/2)+sin(√3x/2)/√3]

        2        2        2
=> (u-v)  + (v-w)  + (w-u)

   -x      2                                    2
= e    [cos (√3x/2)-2sin(√3x/2)cos(√3x/2)+sin (√3x/2)] +

    -x    2              -x    2                                    2
  4e   sin (√3x/2)/3 + e  [cos (√3x/2)+2sin(√3x/2)cos(√3x/2)+sin (√3x/2)]

   -x     2               2
= e  (2cos (√3x/2) + 2sin (√3x/2))
    -x
= 2e
      3   3   3   x   -x
所以 u + v + w = e *2e  /2 = 1

雖然可行，不過很複雜...






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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.254.104.35
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1434724206.A.49D.html
推 Philethan   : 哇塞（吞了口口水） 小弟甘拜下風 Orz
→ Philethan   : 每個題目似乎都有好多種解法啊..
→ yueayase    : 我想了很久的作法，但這實在是太複雜了
→ Philethan   : 感謝，我都看懂了，但u^3+v^3+w^3-3uvw的公式怎麼
→ Philethan   : 來的.......我剛還刻意跑去wolfram alpha打三方公式
→ Philethan   : 也沒看出個什麼東東=.=
→ yueayase    : 好奇怪，為什麼系統會說我散佈廣告或非法訊息?
推 Philethan   : ....!!????
→ yueayase    : google Vieta Argument and Cube Sum Factorizatio
→ yueayase    : 因為縮網址不給我貼
推 Philethan   : 噗 好喔 謝謝你～～～～～～
※ 編輯: yueayase (111.254.104.35), 06/19/2015 23:50:37