推 yueayase : 是太操了，不過做的時候剛好發現把u,v,w的explicit 06/19 23:14
→ yueayase : form給找出來了 06/19 23:14
※ 引述《yueayase (scrya)》之銘言：
: ※ 引述《Philethan (PE)》之銘言：
: : 各位神人好.......
: : 我目前正在準備考台大的轉學考，雖然寫 James Stewart 的習題時都覺得沒什麼大
: : 問題。但是，當我寫台大轉學考微B考古題時，我就覺得想得很慢，而且計算又容易
: : 粗心.....讓我非常頭痛。
: : 目前正在寫 Stewart 後面的 problem plus，我實在是很佩服想出這些題目的教授
: : 們，每個題目都好花我的時間。我很想知道，我到底該怎樣突破現在的困境？
: : 例一：
: : 在 Chapter 11: Infinite Sequences and Series，Problem Plus 第25題
: : u = 1 + x^3/3! + x^6/6! + x^9/9!
: : v = x + x^4/4! + x^7/7! + x^10/10!
: : w = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + x^11/11!
: : 證明 u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = 1
: : 我怎麼想都想不出來....超級痛苦，已經想2小時了。
: : 我觀察到
: : u'=w, w'=v, v'=u u+v+w = exp(x)
: : 那又怎樣呢！有想過 (u+v+w)^3 = ????，但總覺得這好像很複雜，應該不太可能。
: 其實是可以硬幹的，不須求證u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw是常數，不過複雜很多...
: x
: 觀察 v=w', u=v'=w'', u+v+w=e
: x
: => w''+w'+w=e and w(0) = 0, w'(0)=v(0)=0
: x x x
: 令特解為w = ce => 3ce = e => c =1/3
: p
: 2
: 對應的homogeneous的characteristic equation為 r + r + 1 = 0
: => r = (-1±√3)/2
: -x/2
: => homogeneous solution 的形式為 e [c1 cos(√3x/2) + c2 sin(√3x/2)]
: -x/2 x
: => 原方程式的解為 e [c1 cos(√3x/2) + c2 sin(√3x/2)]+ e /3
: -x/2 x
: 令 w = e [c1 cos(√3x/2) + c2 sin(√3x/2)] + e /3
: ' -x/2 x
: => w = e [(√3c2-c1)cos(√3x/2)-(√3c1+c2)sin(√3x/2)]/2 + e /3
: 由initial condition:
: 0 = w(0) = c1+1/3
: '
: 0 = w(0) = (√3c2-c1)/2+1/3
: => c1 = -1/3, c2 = -1/√3
: 則u, v, w都可求出:
: -x/2 x
: u = w'' = 2e cos(√3x/2)/3 + e /3
: -x/2 x
: v = w' = e [-cos(√3x/2)/3 + sin(√3x/2)/√3] + e /3
: -x/2 x
: w = -e [cos(√3x/2)/3 + sin(√3x/2)/√3] + e / 3
: 3 3 3
: u + v + w - 3uvw若直接代入會非常難算(雖然你可以用排列組合的方法求出係數)
: 3 3 3 2 2 2
: 但其實 u + v + w -3uvw = (u+v+w)[(u-v) + (v-w) + (w-u)] / 2
: -x/2
: u-v = e [cos (√3x/2)-sin(√3x/2)/√3]
: -x/2
: v-w = 2e sin(√3x/2) / √3
: -x/2
: w-u = -e [cos(√3x/2)+sin(√3x/2)/√3]
: 2 2 2
: => (u-v) + (v-w) + (w-u)
: -x 2 2
: = e [cos (√3x/2)-2sin(√3x/2)cos(√3x/2)+sin (√3x/2)] +
: -x 2 -x 2 2
: 4e sin (√3x/2)/3 + e [cos (√3x/2)+2sin(√3x/2)cos(√3x/2)+sin (√3x/2)]
: -x 2 2
: = e (2cos (√3x/2) + 2sin (√3x/2))
: -x
: = 2e
: 3 3 3 x -x
: 所以 u + v + w = e *2e /2 = 1
: 雖然可行，不過很複雜...
這寫起來太操了，沒必要算出 u,v,w ，我順著你的想法試著幫你修改一下
從你上面寫的，
u^3+v^3+w^3 - 3uv = 1/2 * (u+v+w) * [(u-v)^2 + (v-w)^2 + (w-u)^2]
及原 PO 的觀察 u+v+w = exp(x)，那麼
(u-v)^2 + (v-w)^2 + (w-u)^2 = 2 exp(-x) 一定成立
下面證明此式
-------------------------------------------------------------
令 h(x) = (u-v)^2 + (v-w)^2 + (w-u)^2
所以很合理的想法 d/dx h(x) = - h(x)
又 d/dx h(x) = 2 [(u-v)(u'-v')+(v-w)(v'-w')+(w-u)(w'-u')]
= 2 [(u-v)(w-u)+(v-w)(u-v)+(w-u)(v-w)]
= 2 [-(u-v)^2 + (w-u)(v-w)]
同理，
d/dx h(x) = 2[-(w-u)^2 + (v-w)(u-v)]
d/dx h(x) = 2[-(v-w)^2 + (u-v)(w-u)]
故 3 d/dx h(x) = (-2) h(x) + d/dx h(x) ， 所以
d/dx h(x) = - h(x)，因此 h(x) = c exp(-x) ， c 為常數
帶入初始條件 h(0) = 2，得 h(x) = 2 exp(-x)
因此原式等於 1
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