Re: [微積] 微積分學習瓶頸Orz

[XII (Mathkid)]

※ 引述《Philethan (PE)》之銘言：
: 各位神人好.......
: 我目前正在準備考台大的轉學考，雖然寫 James Stewart 的習題時都覺得沒什麼大
: 問題。但是，當我寫台大轉學考微B考古題時，我就覺得想得很慢，而且計算又容易
: 粗心.....讓我非常頭痛。
: 目前正在寫 Stewart 後面的 problem plus，我實在是很佩服想出這些題目的教授
: 們，每個題目都好花我的時間。我很想知道，我到底該怎樣突破現在的困境？
: 例一：
: 在 Chapter 11: Infinite Sequences and Series，Problem Plus 第25題
: u = 1 + x^3/3! + x^6/6! + x^9/9!
: v = x + x^4/4! + x^7/7! + x^10/10!
: w = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + x^11/11!
: 證明 u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = 1

來亂算一下

令r=(-1+√{-3})/2

LHS=(u+v+w)(u+rv+r^2 w)(u+r^2 v+r^4 w)=(e^x)(e^{rx})(e^{r^2 x})=e^0=1

: 我怎麼想都想不出來....超級痛苦，已經想2小時了。
: 我觀察到
:              u'=w, w'=v, v'=u       u+v+w = exp(x)
: 那又怎樣呢！有想過 (u+v+w)^3 = ????，但總覺得這好像很複雜，應該不太可能。
: 例二：
: 在 Chapter 11: Infinite Sequences and Series，Problem Plus 第17題
: 將 x^x 位於 x=0 的值定為 1，並且「逐項積分」，證明
:     1               inf
:     ∫x^x dx   =   sigma  (-1)^(n-1) / n^n
:     0               n=1
: 這題我想說將左邊的積分式改寫為黎曼和，也許會看出什麼，但...什麼也沒有Orz
: 然後我就卡住了，超煩的啊～～真的沒什麼頭緒了。我一直在想它所謂的逐項積分
: 是不是有什麼涵義。它的原文是「and integrating a series term by term」。
: 可是當我改寫為黎曼和，也沒什麼用啊...=_=
:     1                     n
:    ∫x^x dx  =  limit   sigma (0+i/n)^(i/n) * 1/n = .....Orz
:     0           n->inf   i=1
: 我想請教的不單純是這題該怎麼解，我想問的是該如何提升自己的程度，到一種覺得
: 這些 Problem Plus 的題目「並不太難」的程度。或者更重要的是，可以到輕鬆解決
: 台大微積分B考題的程度。 唉唉，真的很想突破目前的困境 Orz
: 總覺得我可能是用錯讀書方法了？我讀原文書讀得順暢，沒什麼阻礙..
: 但就是無法將自己提升到某種境界。看transfer版上許多數學神人寫的微積分
: 詳解，就覺得很悶，不知道要怎樣才能到那種程度....
: 拜託各位神人大大了...

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→ yyc2008     : X大可以講解一下 為什麼要引入r的想法?
推 motivic     : this is so nature
→ yyc2008     : 怎麼會呢? 一個是r r^2 另外一個卻是r^2 r^4以前沒
→ yyc2008     : 看過這種奇特的安排 可以講解一下嗎?
→ yyc2008     : 我的問題是LHS=(u+v+w)(u+rv+r^2 w)(u+r^2 v+r^4 w)
→ yyc2008     : 怎麼知道可以用一個r就表達出LHS?
推 motivic     : it's a well-known "norm form" in number theory