Re: [微積] 微積分學習瓶頸Orz

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《Philethan (PE)》之銘言：
: 各位神人好.......
: 我目前正在準備考台大的轉學考，雖然寫 James Stewart 的習題時都覺得沒什麼大
: 問題。但是，當我寫台大轉學考微B考古題時，我就覺得想得很慢，而且計算又容易
: 粗心.....讓我非常頭痛。
: 目前正在寫 Stewart 後面的 problem plus，我實在是很佩服想出這些題目的教授
: 們，每個題目都好花我的時間。我很想知道，我到底該怎樣突破現在的困境？
: 例一：
: 在 Chapter 11: Infinite Sequences and Series，Problem Plus 第25題
: u = 1 + x^3/3! + x^6/6! + x^9/9!
: v = x + x^4/4! + x^7/7! + x^10/10!
: w = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + x^11/11!
: 證明 u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = 1
: 我怎麼想都想不出來....超級痛苦，已經想2小時了。
: 我觀察到
:              u'=w, w'=v, v'=u       u+v+w = exp(x)
: 那又怎樣呢！有想過 (u+v+w)^3 = ????，但總覺得這好像很複雜，應該不太可能。
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    給點不一樣的想法

              ┌ 0 1 0 ┐
    考慮 A = x│ 0 0 1 │
              └ 1 0 0 ┘

          A   ┌ u v w ┐
    可知 e  = │ w u v │
              └ v w u ┘

                    A     tr(A)    0
    所以原式 = det(e ) = e      = e  = 1

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1434728482.A.7BE.html
推 Philethan   : Orz 怎麼這題一堆解法.....各位實在是太厲害了
推 Zorich      : 用線代解好猛
→ Zorich      : 真的是太強了
推 handsboy    : 這個超強XDD
推 softseaweed : XDD
推 Eliphalet   : 推
推 coolbetter33: 很漂亮的解法
推 yyc2008     : 請問A是怎麼找出來的?
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    以下所提並非是我一開始的想法

    不過這個方法會讓整個解法看起來很自然

           ┌ u v w ┐
    令 Y = │ w u v │
           └ v w u ┘

            ┌ u' v' w' ┐   ┌ w u v ┐                  ┌ 0 1 0 ┐
    則 Y' = │ w' u' v' │ = │ v w u │ = MY ,  其中 M = │ 0 0 1 │
            └ v' w' u' ┘   └ u v w ┘                  └ 1 0 0 ┘

                       Mx    A
    所以可建立出  Y = e   = e



    另外也順便合理化一下其他版大的作法

    假設 Y 的三個 eigenvalue 分別是 λ_1, λ_2, λ_3

    對應 M 的三個 eigenvalue 分別是 λ_m1, λ_m2, λ_m3

                                  (λ_m1 + λ_m2 + λ_m3)x
    則 det(Y) = λ_1*λ_2*λ_3 = e

                                       2       2
    可以計算出 λ_i in { u+v+w, u+vr+wr  , u+vr + wr }

              λ_mi in { 1, r, r^2 }

          其中  r 滿足 r^3 = 1


    細節就不多提了
※ 編輯: doom8199 (36.236.155.184), 06/20/2015 19:10:54
→ yyc2008     : 所以原始想法呢?
→ yyc2008     : 主要的點應該是排法