Re: [微積] 傅立葉轉換的問題

[suspect1 ()]

※ 引述《ma4108 (毛怪)》之銘言：
: 題目：
: 1/(πt) <---> -jsgn(f)
: 想知道如果 不使用 Hilbert轉換
: 要怎麼求得之間的轉換
: 謝謝 ^_^
 使用對偶定理囉！

   F{x(t)} = X(f);則 F{X(t} = x(-f)

                    ∞
   [說明]:1. X(f) = ∫ x(t)*exp(-j2πft) dt
                   -∞

                    ∞
          2. x(t) = ∫  X(f)*exp(j2πft) df
                    -∞
                                      ∞
          3.將2式稍做改變 t=>f x(f) = ∫ X(t)exp(j2πft)dt
                                     -∞
           將上式的f改用-f取代可得

                   ∞
           x(-f) = ∫ X(t)exp(-j2πft) dt = F{X(t)}
                   -∞


           所以可以得到對偶定理

               傅立葉轉換
           x(t)--------->X(f)
              \        /
               \      /
                \    /
                 \  /
                  \/
                  /\
                 /  \
                /    \
               /      \
           X(t)-------->x(-f)
               傅立葉轉換


   至於 1/(πt) <---> -jsgn(f) 怎麼來的，首先您應該要先知道 sgn(t)的

   傅立葉轉換怎麼求

   F{sgn(t)} = lim   F{exp(-a|t|) * sgn(t)}
               a->0

            = lim    (-j4πf)/ (a^2 + (2πf)^2)
              a->0

            = 1/jπf


   因此由對偶定理：

         sgn(t) --------->  1/jπf
              \          /
               \        /
                \      /
                 \    /
                  \  /
                   /\
                  /  \
                 /    \
                /      \
               /        \
     1/jπ(t)----------> sgn(-f)

     應該知道了吧～

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.251.184.206
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1434857617.A.59C.html
※ 編輯: suspect1 (111.251.184.206), 06/21/2015 11:35:08
→ kerwinhui   : 1/t不是tempered distribution，怎樣用對偶定理？
→ suspect1    : 呵呵～看來我的觀念有誤！可以請教k大正確的解法嗎?
  我來自問自答一下

   x(t)=1的傅立葉轉換是 δ(f) ，應該沒問題吧～

   但是如果硬要對x(t)去做積分，x(t)也非絕對可積分

   但是求解這個問題還是得使用對偶定理～

   有錯誤的話，還請不吝指正
※ 編輯: suspect1 (111.251.184.206), 06/21/2015 18:26:06
→ kerwinhui   : PV(1/t)才是tempered distribution
→ kerwinhui   : sgn也是。PV(1/t)就和Hilbert Transform相差不遠了
→ kerwinhui   : x(t)=1當然不在L^1+L^2，只是tempered distribution
→ kerwinhui   : (tempered) distribution的FT是用在test function上
→ kerwinhui   : 由FT:S(R)->S(R)，取dual可得FT:S(R)'->S(R)'，即
→ kerwinhui   : tempered distribution -> tempered distribution